Основано на упр. 22 стр. 18
Реши задачу

Точка \(F\) не лежит в плоскости треугольника \(MNP\) , точки \(Е, K\) и \(Т\) лежат на отрезках \(FM, FN\) и \(FP\) , причём \( \dfrac {FE}{FM} = \dfrac {FK}{FN} = \dfrac {FT}{FP} = \cfrac {2}{3}\) .

а) Докажи, что плоскости \(EKT\) и \(MNP\) параллельны.

б) Найди площадь треугольника \(MNP\) , если площадь треугольника \(EKT\) равна \(36 см^2\) .

Решение:

а) \(\triangle EFK \sim \) [ \(\triangle MFN\) | \(\triangle EKT\) | \(\triangle MNP\) ], так как \( \dfrac {FE}{FM} = \dfrac {FK}{FN} \) , а угол [ \(ETK\) | \( EFK\) | \( MNP\) ] — общий, поэтому \(EK \parallel \) [ ] и \( EK = \) [ ].

Аналогично \(\triangle KFT \sim\) [ \(\triangle MFN\) | \(\triangle NFP\) | \(\triangle MNP\) ], так как \( \dfrac {FK}{FN} = \dfrac {FT}{FP} \) , а угол[ \(ETK\) | \( MNP\) | \( KFT\) ] — общий, поэтому \(KT \parallel \) [ ] и \( KT = \) [ ].

Итак, пересекающиеся прямые \(EK\) и \(KТ\) плоскости \(EKT\) соответственно [параллельны|пересекаются|перпендикулярны] прямым \( MN \) и \( NP \) плоскости \(MNP\) , следовательно, эти плоскости [параллельны|пересекаются|перпендикулярны].

б) \(\triangle EKT \sim \) [ \(\triangle MFN\) | \(\triangle EKT\) | \(\triangle MNP\) ] так как \(\angle EKT = \angle MNP \) и \(\dfrac {EK}{MN} = \dfrac {KT}{NP} = \dfrac {2}{3}\) и коэффициент подобия \(k\) равен [ ]. Поэтому \(S\_{EKT} : S\_{MNP} = \) [ ] \(=\) [ ], откуда \(S\_{MNP} =\) [ ] \(см^2\) .

Ответ: б) [ ] \(см^2\) .