Основано на упр. 23 стр. 19
Заполни пропуски

На рисунке параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены прямыми \(MN\) и \(MF, P\_{1}, P\_{2}\) и \(Q\_{1}, Q\_{2}\) — точки пересечения прямых с плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) . Найдите \(Р\_{1}Р\_{2}\) , если \(МР\_{1} : MQ\_{1} = 3 : 4\) и \(Q\_{1}Q\_{2} = 72\) \(см\) .

Решение. Пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MF\) задают некоторую [плоскость|точку|трапецию] \(\gamma\) . \(Р\_{1}\) и \(Р\_{2}\) — общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\) , поэтому прямая \(Р\_{1}Р\_{2}\) — [параллельная линия|линия пересечения|перпендикулярная линия], аналогично \(Q\_{1}\) и \(Q\_{2}\) — [общие точки плоскостей \(\gamma\) и \(\beta\) |общие точки плоскостей \(\gamma\) и \(\alpha\) |общие точки плоскостей \(\beta\) и \(\alpha\) ], поэтому прямая \(Q\_{1}Q\_{2}\) — [параллельная линия|линия пересечения|перпендикулярная линия].

Итак, параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены плоскостью \(\gamma\) , поэтому, согласно [свойсту параллельных линий|свойсту параллельных плоскостей|свойсту пересекающихся плоскостей], линии их пересечения[параллельны|пересекаются|перпендикулярны], т. е. \(Р\_{1} Р\_{2} \parallel \) [ ].

\(\triangle P\_{1}MP\_{2} \sim \) [ \(\triangle Q\_{1}MQ\_{2}\) | \(\triangle P\_{1}MP\_{2}\) | \(\triangle NMF\) ],так как [ \(P\_{1}P\_{2} \perp Q\_{1}Q\_{2}\) | \(Q\_{1}Q\_{2} \parallel MN\) | \(P\_{1}P\_{2} \parallel Q\_{1}Q\_{2}\) ], следовательно, \( MP\_{1} : MQ\_{1} = P\_1P\_2 : \) [ ], \(P\_{1}P\_{2} =\) [ ] \(=\) [ ] см.