Основано на Примере с решением 2 стр. 11 Докажи методом математической индукции, что для любого натурального числа n справедливо равенство \cfrac{1}{1\cdot 5}+\cfrac{1}{5\cdot 9}+...+\cfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\cfrac{n}{4n+1}. Доказательство: Обозначь A(n)=\cfrac{1}{1\cdot 5}+\cfrac{1}{5\cdot 9}+...+\cfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}. B(n)=\dfrac{n}{4n+1} . 1) Равенство A(1)=B(1) , т. к. \dfrac{1}{1\cdot 5}=\dfrac{1}{4+1}. 2) A(k+1)-A(k)=\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+...+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}-\left(\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+...+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} \right)=\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}. B(k+1)-B(k)=\frac{k+1}{4k+5}-\frac{k}{4k+1}=\frac{(k+1)(4k+1)-k(4k+5)}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{4k^2+5k+1-4k^2-5k}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}. Следовательно, A(k+1)-A(k)=B(k+1)-B(k), тогда из справедливости последнего равенства следует, что справедливо равенство A(k+1)=B(k+1). 3) Предположим, что A(k)=B(k), тогда из справедливости последнего равенства следует, что справедливо равенство A(k+1)=B(k+1). Согласно принципу математической индукции это означает, что равенство A(k)=B(k) для любого натурального числа n, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

ОснованонаПримересрешением2стр.11

Выбериправильныеответы

Докажиметодомматематическойиндукции, чтодлялюбогонатуральногочисла \(n\) справедливоравенство

\(\cfrac{1}{1\cdot5}+\cfrac{1}{5\cdot9}+...+\cfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\cfrac{n}{4n+1}\) .

Доказательство:

Обозначь \(A(n)=\cfrac{1}{1\cdot5}+\cfrac{1}{5\cdot9}+...+\cfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}\) .

\(B(n)=\dfrac{n}{4n+1}\) .

1)Равенство \(A(1)=B(1)\) [верно|неверно], т.к. \(\dfrac{1}{1\cdot5}=\dfrac{1}{4+1}\) .

  1. \(A(k+1)-A(k)=\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+...+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}-\left(\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+...+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}\right)=\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}\) .

\(B(k+1)-B(k)=\frac{k+1}{4k+5}-\frac{k}{4k+1}=\frac{(k+1)(4k+1)-k(4k+5)}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{4k^2+5k+1-4k^2-5k}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}\) .

Следовательно, \(A(k+1)-A(k)=B(k+1)-B(k)\) , тогдаизсправедливостипоследнегоравенстваследует, чтосправедливоравенство \(A(k+1)=B(k+1)\) .

3)Предположим, что \(A(k)=B(k)\) , тогдаизсправедливостипоследнегоравенстваследует, чтосправедливоравенство \(A(k+1)=B(k+1)\) .

Согласнопринципуматематическойиндукцииэтоозначает, чторавенство \(A(k)=B(k)\) [верно|неверно]длялюбогонатуральногочисла \(n\) , чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест