Основано на упр. 1, стр. 14
Изучи решение
Реши уравнение \(9x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 5x + 1 = 0\) .
Решение. У многочлена \(P\_4(x) = 9x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 5x + 1\) коэффициент \(a\_4 = 9\) ,а свободный член \(a\_0 = 1\) . Если уравнение имеет корень — рациональное число, то этот корень надо искать среди чисел \(1, \space -1, \space \dfrac{1}{3}, \space - \dfrac{1}{3}, \space \dfrac{1}{9}, \space - \dfrac{1}{9}\) .
Вычисли
\(P\_4(1) = 9 - 3 + 4 + 5 + 1 = \) [ ] \(\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 0 \) ; \( P\_4(- 1) = 9 + 3 + 4 - 5 + 1 = \) [ ] \( \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 0\) ;
\(P\_4 \bigg( \dfrac{1}{3} \bigg) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{3} + 1 \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 0\) ; \(P\_4 \bigg( -\dfrac{1}{3} \bigg) = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{5}{3} + 1 = 0\) .
Таким образом, многочлен \(P\_4(x)\) имеет корень \( - \dfrac{1}{3}\) , поэтому \(P\_4(x)\) делится на двучлен \(\bigg(x + \dfrac{1}{3} \bigg)\) , т.е. \(P\_4(x) = P\_3(x) \cdot \bigg(x + \dfrac{1}{3} \bigg)\) .
Применяя схему Горнера, найдём коэффициенты многочлена \(P\_3(x)\) .
| \(-\dfrac{1}{3}\) | |
| 9 | 9 |
| -3 | -6 |
| 4 | 6 |
| 5 | 3 |
| 1 | 0 |
Итак, \(P\_3(x) = 9x^3 - 6x^2 + 6x + 3\) , следовательно его рациональные корни надо искать среди чисел \(1, \space -1, \space \dfrac{1}{3}, \space - \dfrac{1}{3}\) . Ясно, что числа \(1, \space -1, \space \dfrac{1}{3} \) не могут быть корнями многочлена \(P\_3(x)\) . Проверим число \( - \dfrac{1}{3}\) .
Так как \(P\_3 \bigg(- \dfrac{1}{3} \bigg) = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3} - 2 + 3 = 0\) , то многочлен \(P\_3(x)\) имеет корень \( -\dfrac{1}{3}\) . Поэтому многочлен \(P\_3(x)\) делится на двучлен \( \bigg(x + \dfrac{1}{3} \bigg)\) , т.е. \(\nobreak{P\_3(x) = P\_2(x) \cdot \bigg( x + \dfrac{1}{3} \bigg)}\) . Найдём многочлен \(P\_2(x)\) , разделив многочлен \(P\_3(x)\) на двучлен \(\nobreak{ \bigg(x + \dfrac{1}{3} \bigg)}\) уголком, как на рисунке ниже.
Итак, \(P\_2(x) = 9x^2 - 9x + 9 = 9(x^2 - x + 1)\) , тогда \(\nobreak{P\_4(x) = 9 \cdot \bigg( x + \dfrac{1}{3} \bigg)^2(x^2 - x + 1)}\) .
Так как дискриминант многочлена \(P\_2(x)\) отрицательный, то этот многочлен не имеет действительных корней и уравнение \(( 1 )\) имеет два совпавших действительных корня \(x\_1 = x\_2 =\) [ ].
Ответ: [ ].