Рассмотри решение уравнения с параметром

Найдём все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \(x\_2+ax+9=0\) имеет два различных корня, меньших \(-1\) .

Решим неравенство.

Так как уравнение должно иметь два различных корня, то должно выполняться неравенство \(D=a^2-36\gt 0\) . Так как коэффициент при \(x^2\) больше нуля, то для того, чтобы оба корня были меньше \(-1\) , должны выполняться два условия: абсцисса \(x\_0=- \dfrac{a}{2}\) вершины параболы — графика функции

\(f(x)=x^2+ax+9\) должна быть меньше \(-1\) и значение функции в точке \(-1\) должно быть положительным:

\(f(-1)=1-a+9=-a+10\gt 0\) .

При нарушении хотя бы одного из этих условий уравнение или не имеет корней, или они совпадают, или найдется корень уравнения, не меньший \(-1\) .

Следовательно, число \(a\) удовлетворяет условиям задачи тогда и только тогда, когда \(a\) удовлетворяет системе неравенств

\(\begin{cases} a^2-36\gt 0, \\ \dfrac{a}{2}\lt -1, \\ -a+10\gt 0. \end{cases}\)

Решив эту систему, получим, что искомые значения \(a\) удовлетворяют двойному неравенству \(6\lt a\lt 10\) .

Ответ: \((6;10)\) .