Реши неравенство

Решим неравенство

\(\dfrac{x - 1}{x + 2} - \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} - 2 \ge 0\) .

Решение.

Обозначив \(t = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}}\) , перепишем неравенство в виде

\(t^2 - t - 2 \ge 0\) .

Все решения неравенства есть и все \(t \le −1\) , и все \(t \ge 2\) . Следовательно, все решения неравенства есть объединение всех решений двух неравенств:

1. \(\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \le - 1\) и 2) \(\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \ge 2\)

Неравенство 1) не имеет решений, так как при всех \(х\) , при которых функция \(\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}}\) определена, справедливо неравенство \(\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \ge 0\) .

Так как функция \(\sqrt{u}\) определена лишь при \(u \ge 0\) и для этих \(u\) она возрастает, то неравенство \(\sqrt{u} \ge \sqrt{4}\) справедливо тогда и только тогда, когда \(u \ge 4\) , поэтому неравен-ство 2) равносильно неравенству \(\dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 4\) , которое имеет множество решений \([\) [ ];[ ] \()\) .

Следовательно, неравенство имеет множество решений \([\) [ ];[ ] \()\) .

Ответ: \([\) [ ];[ ] \()\) .