Основано на упр. 31, стр. 23-24
Реши задачу

На рисунке изображен тетраэдр \(KLMN\) .

a) Построй сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро \(KL\) и середину \(А\) ребра \(MN\) .

б) Докажи, что плоскость, проходящая через середины \(Е, О\) и \(F\) отрезков \(LM, MA\) и \(МK\) , параллельна плоскости \(LKA\) . Найди площадь треугольника \(EOF\) , если площадь треугольника \(LKA\) равна \(24 см^2\) (задача 75 учебника).

Решение:

• \(LMN\)
• прямой \(LA\)
• прямой \(KA\)
• треугольник \(LKA\)
• \(EF\) и \(EO\)
• средние линии треугольников
• \(LMK\) и \(LMA\)
• \(LKA\)
• параллельности плоскостей
• \(LKA\)
• параллельны
• \(EF:LK = EO:LA= FO:KA\)
• \(\dfrac{1}{2}\)
• \(EF:LK=1:2\)
• \((\dfrac{1}{2})^2\)
• \(\dfrac{1}{4}\cdot S\_{LAK}\)
• \(6\)

а) Так как точки \(L\) и \(A\) принадлежат секущей плоскости и грани [ ] тетраэдра, то секущая плоскость пересекается с этой гранью по [ ]. Аналогично секущая плоскость пересекается с гранью \(KMN\) по [ ]. Следовательно, [ ] — искомое сечение.

б) Рассмотрим плоскости \(ЕFO\) и \(LKA\) . \(EF\) || \(LK\) и \(EO\) || \(LA\) , так как [ ] - [ ][ ]. Итак, две пересекающиеся прямые плоскости \(EFO\) соответственно параллельны двум прямым плоскости [ ], поэтому, согласно признаку[ ], плоскости EFО и [ ] - [ ]. Треугольники \(EOF\) и \(LAK\) подобны, так как [ ], причем коэффициент подобия равен [ ], так как [ ]. По теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем: \(S\_{EOF} : S\_{LAK} =\) [ ], откуда \(S\_{EOF}\) = [ ] \(см^2 =\) [ ] \(см^2\) .

Ответ:

\(S\_{EOF} =\) [ ] \(см^2\) .