Основано на упр. 31, стр. 23-24 На рисунке изображен тетраэдр KLMN. a) Построй сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажи, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, MA и МK, параллельна плоскости LKA. Найди площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см^2 (задача 75 учебника). Решение: LMN прямой LA прямой KA треугольник LKA EF и EO средние линии треугольников LMK и LMA LKA параллельности плоскостей LKA параллельны EF:LK = EO:LA= FO:KA \dfrac{1}{2} EF:LK=1:2 (\dfrac{1}{2})^2 \dfrac{1}{4}\cdot S_{LAK} 6 а) Так как точки L и A принадлежат секущей плоскости и грани тетраэдра, то секущая плоскость пересекается с этой гранью по. Аналогично секущая плоскость пересекается с гранью KMN по. Следовательно, — искомое сечение. б) Рассмотрим плоскости ЕFO и LKA. EF||LK и EO ||LA, так как - . Итак, две пересекающиеся прямые плоскости EFO соответственно параллельны двум прямым плоскости, поэтому, согласно признаку, плоскости EFО и -. Треугольники EOF и LAK подобны, так как, причем коэффициент подобия равен, так как. По теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем: S_{EOF} : S_{LAK} = , откуда S_{EOF} = см^2 = см^2. Ответ: S_{EOF} = см^2.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основано на упр. 31, стр. 23-24
Реши задачу

На рисунке изображен тетраэдр \(KLMN\) .

a) Построй сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро \(KL\) и середину \(А\) ребра \(MN\) .

б) Докажи, что плоскость, проходящая через середины \(Е, О\) и \(F\) отрезков \(LM, MA\) и \(МK\) , параллельна плоскости \(LKA\) . Найди площадь треугольника \(EOF\) , если площадь треугольника \(LKA\) равна \(24 см^2\) (задача 75 учебника).

Решение:

  • \(LMN\)
  • прямой \(LA\)
  • прямой \(KA\)
  • треугольник \(LKA\)
  • \(EF\) и \(EO\)
  • средние линии треугольников
  • \(LMK\) и \(LMA\)
  • \(LKA\)
  • параллельности плоскостей
  • \(LKA\)
  • параллельны
  • \(EF:LK = EO:LA= FO:KA\)
  • \(\dfrac{1}{2}\)
  • \(EF:LK=1:2\)
  • \((\dfrac{1}{2})^2\)
  • \(\dfrac{1}{4}\cdot S\_{LAK}\)
  • \(6\)

а) Так как точки \(L\) и \(A\) принадлежат секущей плоскости и грани [ ] тетраэдра, то секущая плоскость пересекается с этой гранью по [ ]. Аналогично секущая плоскость пересекается с гранью \(KMN\) по [ ]. Следовательно, [ ] — искомое сечение.

б) Рассмотрим плоскости \(ЕFO\) и \(LKA\) . \(EF\) || \(LK\) и \(EO\) || \(LA\) , так как [ ] - [ ][ ]. Итак, две пересекающиеся прямые плоскости \(EFO\) соответственно параллельны двум прямым плоскости [ ], поэтому, согласно признаку[ ], плоскости EFО и [ ] - [ ]. Треугольники \(EOF\) и \(LAK\) подобны, так как [ ], причем коэффициент подобия равен [ ], так как [ ]. По теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем: \(S\_{EOF} : S\_{LAK} =\) [ ], откуда \(S\_{EOF}\) = [ ] \(см^2 =\) [ ] \(см^2\) .

Ответ:

\(S\_{EOF} =\) [ ] \(см^2\) .

Тот же тест