Основанонаупр.30, стр.22-23
Заполнипропуски

Втетраэдре \(SABC\) точки \(D\) , \(Е\) и \(F\) являютсясерединамиребер \(SA, AB\) и \(ВС, АС=32см, SB=40см\) , уголмеждупрямыми \(АС\) и \(SB\) равен \(90°\) .

a)Докажи, чтоплоскость \(DEF\) проходитчерезсередину \(Р\) ребра \(SC\) .

б)Найдиплощадьчетырёхугольника \(DEFP\) .

Решение:

• \(АВС\)
• \(AC\)
• параллельности прямой и плоск.
• аксиоме \(A\_3\)
• \(D\)
• \(ASC\)
• \(a\)
• \(EF\)
• о трёх параллельных прямых
• \(AS\)
• \(AC\)
• \(SC\)
• \(SC\)
• \(DP||EF, DE||PF||SB\)
• \(16см\)
• \(20см\)
• средняя линия треугольника \(SAB\)
• \(90^\circ\)
• прямоугольником
• \(EF\)
• \(320\)

а) \(EF\) — средняялиниятреугольника[ ], поэтому \(EF||\) [ ], ипопризнаку[ ] \(EF||ASC\) .Плоскости \(ASC\) и \(DEF\) имеютобщуюточку \(D\) ипотому, согласно[ ], имеютобщуюпрямую, проходящуючерезточку[ ].Обозначимэтупрямуюбуквой \(а\) .Таккакплоскость \(DEF\) проходитчерезпрямую \(EF\) , параллельнуюплоскости[ ], ипересекаетэтуплоскостьпопрямой[ ], то \(а||\) [ ].Мыполучили, что \(АС||EF\) и \(а||EF\) , откудаследуетпотеореме[ ], что \(а||AC\) .

Рассмотрим \(\triangleASC\) .Точка \(D\) — серединастороны[ ], прямая \(а\) , проходящаячерезточку \(D\) , параллельна[ ], следовательно, прямая \(а\) пересекаетсторону \(SC\) вточке \(Р\) — середине[ ].Темсамыммыдоказали, чтоплоскость \(DEF\) проходитчерезсередину \(Р\) ребра[ ].

б)Четырёхугольник \(DEFP\) — параллелограмм, таккак[ ], причем \(EF\) =[ ], а \(DE\) =[ ], таккак \(DE\) — [ ].

Рассмотримугол \(DEF\) .Егостороны \(ED\) и \(EF\) соответственнопараллельныпрямым \(BS\) и \(АС\) , уголмеждукоторымипоусловиюравен \(90^\circ\) .Поэтомуи \(DEF=\) [ ], и, значит, параллелограмм \(DEFP\) является[ ].

\(S\_{DEFP}=DE\cdot\) [ ] \(=\) [ ]см \(^2\) .

Ответ: \(S\_{DEFP}=\) [ ] \(см^2\) .