Основано на упр. 30, стр. 22-23 В тетраэдре SABC точки D, Е и F являются серединами ребер SA, AB и ВС, АС = 32 см, SB = 40 см, угол между прямыми АС и SB равен 90°. a) Докажи, что плоскость DEF проходит через середину Р ребра SC. б) Найди площадь четырёхугольника DEFP. Решение: АВСACпараллельности прямой и плоск.аксиоме A_3DASCaEFо трёх параллельных прямыхASACSCSCDP||EF, DE||PF||SB16см20смсредняя линия треугольника SAB90^\circпрямоугольникомEF320 а) EF — средняя линия треугольника , поэтому EF|| , и по признаку EF||ASC. Плоскости ASC и DEF имеют общую точку D и потому, согласно , имеют общую прямую, проходящую через точку . Обозначим эту прямую буквой а. Так как плоскость DEF проходит через прямую EF, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой , то а||. Мы получили, что АС || EF и а || EF, откуда следует по теореме , что а || AC. Рассмотрим \triangle ASC. Точка D — середина стороны , прямая а, проходящая через точку D, параллельна , следовательно, прямая а пересекает сторону SC в точке Р — середине . Тем самым мы доказали, что плоскость DEF проходит через середину Р ребра . б) Четырёхугольник DEFP — параллелограмм, так как , причем EF = , а DE = , так как DE —. Рассмотрим угол DEF. Его стороны ED и EF соответственно параллельны прямым BS и АС, угол между которыми по условию равен 90^\circ. Поэтому и DEF = , и, значит, параллелограмм DEFP является . S_{DEFP} = DE \cdot = см^2. Ответ: S_{DEFP} = см^2.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.30, стр.22-23
Заполнипропуски

Втетраэдре \(SABC\) точки \(D\) , \(Е\) и \(F\) являютсясерединамиребер \(SA, AB\) и \(ВС, АС=32см, SB=40см\) , уголмеждупрямыми \(АС\) и \(SB\) равен \(90°\) .

a)Докажи, чтоплоскость \(DEF\) проходитчерезсередину \(Р\) ребра \(SC\) .

б)Найдиплощадьчетырёхугольника \(DEFP\) .

Решение:

  • \(АВС\)
  • \(AC\)
  • параллельности прямой и плоск.
  • аксиоме \(A\_3\)
  • \(D\)
  • \(ASC\)
  • \(a\)
  • \(EF\)
  • о трёх параллельных прямых
  • \(AS\)
  • \(AC\)
  • \(SC\)
  • \(SC\)
  • \(DP||EF, DE||PF||SB\)
  • \(16см\)
  • \(20см\)
  • средняя линия треугольника \(SAB\)
  • \(90^\circ\)
  • прямоугольником
  • \(EF\)
  • \(320\)

а) \(EF\) — средняялиниятреугольника[ ], поэтому \(EF||\) [ ], ипопризнаку[ ] \(EF||ASC\) .Плоскости \(ASC\) и \(DEF\) имеютобщуюточку \(D\) ипотому, согласно[ ], имеютобщуюпрямую, проходящуючерезточку[ ].Обозначимэтупрямуюбуквой \(а\) .Таккакплоскость \(DEF\) проходитчерезпрямую \(EF\) , параллельнуюплоскости[ ], ипересекаетэтуплоскостьпопрямой[ ], то \(а||\) [ ].Мыполучили, что \(АС||EF\) и \(а||EF\) , откудаследуетпотеореме[ ], что \(а||AC\) .

Рассмотрим \(\triangleASC\) .Точка \(D\) — серединастороны[ ], прямая \(а\) , проходящаячерезточку \(D\) , параллельна[ ], следовательно, прямая \(а\) пересекаетсторону \(SC\) вточке \(Р\) — середине[ ].Темсамыммыдоказали, чтоплоскость \(DEF\) проходитчерезсередину \(Р\) ребра[ ].

б)Четырёхугольник \(DEFP\) — параллелограмм, таккак[ ], причем \(EF\) =[ ], а \(DE\) =[ ], таккак \(DE\) — [ ].

Рассмотримугол \(DEF\) .Егостороны \(ED\) и \(EF\) соответственнопараллельныпрямым \(BS\) и \(АС\) , уголмеждукоторымипоусловиюравен \(90^\circ\) .Поэтомуи \(DEF=\) [ ], и, значит, параллелограмм \(DEFP\) является[ ].

\(S\_{DEFP}=DE\cdot\) [ ] \(=\) [ ]см \(^2\) .

Ответ: \(S\_{DEFP}=\) [ ] \(см^2\) .

Тот же тест