Реши задачу

Через точку \(O\) пересечения диагоналей ромба \(ABCD\) проведена прямая \(MO\) , перпендикулярная к плоскости ромба, причём \(MO=6\) см, \(AC=16\) см, \(BD=4\sqrt{3}\) см. Найди расстояние от точки \(M\) до вершин ромба.

Решение.

1. Так как четырёхугольник \(ABCD\) — ромб, а отрезки \(AC\) и \(BD\) — его
   [стороны|диагонали|высоты]
   , пересекающиеся в точке \(O\) , то \(OA=\) [ \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(2\) ][ ], \(OB=\) [ \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(2\) ][ ]. Значит, \(MO\) является
   [биссектрисой|высотой|медианой]
   в треугольниках \(AMC\) и \(BMD\) .
2. Так как \(MO\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((ABCD)\) , то \(MO\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) ][ ] и \(MO\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) ][ ]. Значит, \(MO\) является
   [биссектрисой|высотой|медианой]
   в треугольниках \(AMC\) и \(BMD\) .
3. Так как в \(\triangle AMC\) и \(\triangle BMD\) отрезок \(MO\) является
   [медианой|биссектрисой]
   и
   [биссектрисой|высотой]
   , то эти треугольники
   [равносторонние|равнобедренные|разносторонние]
   , \(AC\) и
   [ ] — основания, \(MA\) [ \(=\) | \(\ne\) | \(\approx\) ][ ] и \(MB\) [ \(=\) | \(\ne\) | \(\approx\) ][ ].
4. Рассмотрим \(\triangle AOM\) . Так как \(MO\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) , то \(\triangle AOM\) [остроугольный|прямоугольный|тупоугольный]
   ,
   [ ] —
   [основание|базис|гипотенуза]
   . Так как
   [основания|катеты|высоты] \( MO\) и
   [ ] равны \(6\) см и
   [ ] см соответственно, то
   [ ] \(=\) [ \(2\) | \(10\) | \(14\) ]
   см (по теореме
   [Герона|Пифагора|Менелая]
   ).
5. Рассмотрим \(\triangle BOM\) — прямоугольный (так как \(MO \perp BD\) ). \(MB\) — гипотенуза. Так как катеты \(MO\) и
   [ ] равны
   [ ] см и
   [ \(\sqrt3\) | \(2\sqrt{3}\) | \(4\sqrt{3}\) ]
   см соответственно, то \(MB=\) [ \(4\sqrt{3}\) | \(8\sqrt{3}\) | \(48\) ]
   .

Следовательно, \(MA\) [ \(=\) | \(\ne\) | \(\approx\) ][ ] \(=\) [ ], \(MB\) [ \(=\) | \(\ne\) | \(\approx\) ][ ] \(=\) [ \(4\sqrt{3}\) | \(8\sqrt{3}\) | \(48\) ].

Ответ: расстояние от точки \(M\) до вершин \(A\) и [ ] равно [ ], а до вершин \(B\) и [ ] равно [ \(4\sqrt{3}\) | \(8\sqrt{3}\) | \(48\) ].