Выполни задание

Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha \) проведены перпендикуляр \(MO\) и две наклонные \(MA\) и \(MB\) , которые образуют со своими проекциями на эту плоскость \(\angle MAO=45\degree \) , \(\angle MBO=30\degree \) , угол между наклонными равен \(90\degree \) . Найди расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной \(MA\) равна \( 3\) см.

Решение.

1. Так как \(MO⊥ \alpha\) и \(OA\) [ \(\in\) | \(\notin\) ] \(\alpha\) , \(OB\) [ \(\in\) | \(\notin\) ] \(\alpha\) (по условию), то \(MO⊥OA\) и \(MO⊥OB\) (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости).

2. Рассмотрим \(△AMO\) . Так как \(MO⊥OA\) (п. \(1\) ) и \(∠MAO=45°\) , то \(△AMO\) [остроугольный|прямоугольный|тупоугольный] и [равнобедренный|равносторонний|разносторонний]: \(AM\) — гипотенуза, \(∠\) [ ] \(=\) [ ] \(\degree\) . Так как \(AO=\) [ ] см, то [ ] \(=\) [ ] см, [ ] \(=\) [ \(2\sqrt{3}\) | \(3\sqrt{2}\) | \(6\) | \(9\) ].

3. Рассмотрим \(△BMO\) . Так как \(MO⊥OB\) (п. \(1\) ), то \(△BMO\) [тупоугольный|остроугольный|прямоугольный], \(BM\) — [катет|гипотенуза]. Так как \(MO=\) [ ] см и \(∠\) [ ] \(=\) [ ] \(\degree\) ,

то \(BM=\) [ \(\cfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) ], [ ] \(=\) [ \(1,5\) | \(3\) | \(6\) | \(9\) ] см.

4. Рассмотрим \(△AMB\) . Так как \(∠AMB=\) [ \(30\degree\) | \(45\degree\) | \(90\degree\) ], то \(△AMB\) — [остроугольный|прямоугольный|тупоугольный], \(AB\) — [катет|гипотенуза|основание]. \(AM=\) [ \(2\sqrt{3}\) | \(3\sqrt{2}\) | \(6\) | \(9\) ], \(BM=\) [ \(1,5\) | \(3\) | \(6\) | \(9\) ] см. Значит, \(AB=\) [ \(AM+BM\) | \(AM^2+BM^2\) | \(\sqrt{AM^2+BM^2}\) ], \(AB=\) [ \(6+3\sqrt{2}\) | \(54\) | \(3\sqrt{6}\) ] см.

Ответ: расстояние \(AB\) между основаниями наклонных равно [ \(6+3\sqrt{2}\) | \(54\) | \(3\sqrt{6}\) ] см.