Выполни задание
Найди интервалы выпуклости вверх и выпуклостивниз функции:
\(f (x) = x^4 - 6x^2 +5x - 3\)
Решение:\(f'(x) = 4x^3 - 12x + 5 \) ,
\(f''(x) =12(x^2-1)\) ,
Так как
\( f''(x) \gt 0\) на промежутках \(x\) [ \(\gt\) | \(=\) | \(\lt\) ] \(-1\) и \(x\) [ \(\gt\) | \(=\) | \(\lt\) ] \(1\) , a \( f''(x) \lt 0\) при [ ] \(\lt x \lt\) [ ], то функция \(f (x)\) выпукла вниз при \(x \l\) [ ],
а при[ ] \(\lt x \lt\) [ ]эта функция выпукла вверх.\(f (x) = x^3e^{-4x}\)
Решение:\(f'(x) = 3x^2e^{-4x} - 4x^3e^{-4x} = (3x^2 - 4x^3)e^{-4x}\) ,
\(f''(x) = (6x-12x^2)e^{-4x} - 4(3x^-4x^3)e^{-4x} = 2x(8x^2-12x+3)e^{-4x}\) ,
Уравнение \(8x^2-12x+3 = 0\) имеет корни \(x\_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{4}\) , \(x\_2=\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}\) , a \(f''(x) \lt 0\) при \(x \lt 0\) и при[ ] \lt x \lt [ ],
\(f''(x) \gt 0\) при[ ] \lt x \lt [ ]и при \(x \gt\) [ ].
Отсюда следует, что функция \(f(x)\) выпукла вверх при \(x \lt \) [ ]и при[ ] \lt x \lt [ ], а при [ ] \lt x \lt [ ]и при \(x \gt\) [ ]эта функция выпукла вниз.
\(f (x) = x+\sin x\)
Решение:\(f'(x) = 1 + \cos x\) ,
\(f''(x) = -\sin x\) .
На интервалах \((2\pi n; 2\pi n + \pi)\) , \(n\isin Z\) , где \(f''(x) \lt 0\) , функция \(f (x)\) выпукла [вверх|вниз].
На интервалах \((-\pi + 2\pi n; 2\pi n)\) , \(n\isin Z\) , функция \(f (x)\) выпукла [вверх|вниз].
\(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-4}\)
Решение:\(|x| \not = 2\) , \(f'(x) = \dfrac{3^2(x^2-4)-x^32x}{(x^2-4)^2} = \dfrac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}\) ,
\(f''(x) = \dfrac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2-(x^4-12x^2)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4} = \dfrac{8x(x^2+12}{(x^2-4)^2}\) ,
Так как \(f''(x) \lt 0\) при \(x \lt – 2\) и при \(0 \lt x \lt 2\) , а \(f(x) \lt 0\) при \(– 2 \lt x \lt 0\) и при \(x \gt 2\) , то функция \(f''(x)\) выпукла [вверх|вниз]на промежутках \((–\infty; –2)\) и \((0; 2)\) и выпукла [вверх|вниз]на промежутках \((– 2; 0)\) и \((2; +\infty)\) .