Задание

Выполни задание

Построй график функции y = f (x), если:

f(x) = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2};

Решение:

График не пересекает ось Ox, так как x^2 – 2x + 9 = (x – 1)^2 + 8 \geqslant 8 при всех x \in \R. График пересекает ось Oy в точке \left(0; \dfrac{9}{2}\right).

Если x \lt 2, то f (x) \lt 0, а если x \gt 2, то f (x)\gt 0, т. е. график лежит ниже оси Ox при x \lt 2 и выше оси Ox при x \gt 2. Прямая x = является вертикальной асимптотой графика.

Так как \dfrac{x^2– 2x + 9}{x-2} = \dfrac{(x-2)^2 +2(x-2) + 9}{x-2} = x - 2 + 2 \dfrac{9}{x-2} = x + \dfrac{9}{x-2}, то прямая y = — асимптота графика функции f(x) = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2}при x \to \infty , причем график лежит выше асимптоты при x \gt 2 и ниже асимптоты при x \lt 2.

Найдем f' (x) и f''(x), если f (x) = x + \dfrac{9}{x-2}.

Имеем f' (x) = 1 - \dfrac{9}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x-5}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2},

f''(x) = \dfrac{18}{(x-2)^3}.

Так как f' (5)= 0 и f' (x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x_1 = 5, то x_1 — точка минимума функции и f (5)=8. Точка x_2= – 1 — точка максимума функции, и f (– 1)= –\dfrac83 .

Если x \lt 2, то f''(x) \lt 0, а если x \gt 2, то f''(x) \gt 0.

Поэтому функция f (x) выпукла вверх при x \lt 2 и выпукла вниз при x \gt 2.

График функции y = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2} изображен на рисунке: