Выполни задание

Построй график функции \(y = f (x)\) , если:

\(f(x) = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2}\) ;

Решение:

График не пересекает ось \(Ox\) , так как \(x^2 – 2x + 9 = (x – 1)^2 + 8 \geqslant 8\) при всех \(x \in \R\) . График пересекает ось \(Oy\) в точке \(\left(0; \dfrac{9}{2}\right)\) .

Если \(x \lt 2\) , то \(f (x) \lt 0\) , а если \(x \gt 2\) , то \(f (x)\gt 0\) , т. е. график лежит ниже оси \(Ox\) при \(x \lt 2\) и выше оси \(Ox\) при \(x \gt 2\) . Прямая \(x =\) [ ]является вертикальной асимптотой графика.

Так как \(\dfrac{x^2– 2x + 9}{x-2} = \dfrac{(x-2)^2 +2(x-2) + 9}{x-2} = x - 2 + 2 \dfrac{9}{x-2} = x + \dfrac{9}{x-2}\) , то прямая \(y =\) [ ] — асимптота графика функции \(f(x) = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2}\) при \(x \to \infty\) , причем график лежит вышеасимптоты при \(x \gt 2 \) и ниже асимптоты при \(x \lt 2\) .

Найдем \(f' (x)\) и \(f''(x)\) , если \(f (x) = x + \dfrac{9}{x-2}\) .

Имеем \(f' (x) = 1 - \dfrac{9}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x-5}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}\) ,

\(f''(x) = \dfrac{18}{(x-2)^3}\) .

Так как \(f' (5)= 0\) и \(f' (x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x\_1 = 5\) , то \(x\_1\) — точка минимума функции и \(f (5)=8\) . Точка \(x\_2= – 1\) — точка максимума функции,и \(f (– 1)= –\dfrac83\) .

Если \(x \lt 2\) , то \(f''(x) \lt 0\) , а если \(x \gt 2\) , то \(f''(x) \gt 0\) .

Поэтому функция \(f (x)\) выпукла вверх при \(x \lt 2\) и выпукла вниз при \(x \gt 2\) .

График функции \(y = \dfrac{x^2-2x+9}{x-2}\) изображен на рисунке: