Выполни задание
Найди асимптоты графика функции \(y = f (x)\) , если:
\(f(x)=\sqrt{x^2-x-2};\)
Решение:Так как \(x^2-x-2 = (x-\cfrac12)^2-\cfrac94\) то \(f (x) =\sqrt{(x-\cfrac12)^2-\cfrac94}\) .
Покажем, что \(f (x) - |x-\cfrac12| \to 0\) при \(x \to \infty\) .
Воспользуемся равенством
\(f (x) - |x-\cfrac12| = \frac{(\sqrt{(x-\frac12)^2-\frac94} - |x-\frac12|)(\sqrt{(x-\frac12)^2-\frac94} + |x-\frac12|)}{\sqrt{(x-\frac12)^2-\frac94} + |x-\frac12|}\)
\(= \frac{-\frac94}{\sqrt{(x-\frac12)^2-\frac94}+ |x-\frac12|)}\) .
Если \(x \to \infty\) , то знаменатель полученной дроби стремится к бесконечности, а дробь стремится к нулю. Следовательно, \(f (x) - |x-\cfrac12| \to 0\) при \(x \to \infty\) .
Если \(x \to +\infty\) , то \(|x-\cfrac12| = \cfrac12-x\) . В этом случае прямая \(y = \cfrac12-x\) является асимптотой графика функции \(f (x)\) при \(x \to +\infty\) . Отметим, что график функции \(f (x) \) лежит
[ниже|выше]асимптоты.
2. \(f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4};\)
Решение:
\(\cfrac{x^3}{x^2-4} = \cfrac{x^3-4x+4x}{x^2-4} = x + \cfrac{4x}{x^2-4}\) , откуда \(f (x)= x + \cfrac{4x}{x^2-4}\) .
Так как \(\cfrac{4x}{x^2-4} = \cfrac{\cfrac4x}{1- \cfrac{4}{x^2}}\) , где \(\cfrac4x \to 0\) , \(1- \cfrac{4}{x^2} \to 1\) при \(x \to \infty\) , то прямая \( y =\) \(x\) является асимптотой графика функции \(f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4}\) при \(x \to +\infty\) и при \(x \to -\infty\) .
\(f(x)=\cfrac{x^3}{4(x-2)^2};\)
Решение:Прямая \(y= kx + b\) является асимптотой графика функции \(y = f (x)\) при \(x \to \infty \) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы \(\lim\limits\_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{x} = \cfrac{1}{4}\) , т. е. \(k =\cfrac{1}{4}\) .
Преобразуем разность
\(f (x) – kx = \cfrac{x^3}{4(x-2)^2} - \cfrac{x}{4} = \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{x^3-x(x-2)^2}{(x-2)^2} = \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{4x^2+4}{(x-2)^2} = \cfrac{1+\cfrac{1}{x^2}}{(1-\cfrac{2}{x})^2}\) .
Отсюда следует, что \(\lim\limits\_{x \to \infty} \left( f(x) - \cfrac{x}{4} \right) = 1\) , т. е. \(b = 1\) . Итак,прямая \(y = \cfracx4 + 1 \) — асимптота графика функции \(f(x)=\cfrac{x^3}{4(x-2)^2}\) при \(x \to +\infty\) .
Заметим, что асимптоту можно найти другим способом, представив \(x^3\) в виде многочлена по степеням \(x–2\) .Тогда \(x^3 = ((x–2) + 2)^3 = (x–2)^3 + 6 (x–2)^2 + 12 (x–2) + 8\) ,откуда
\(\cfrac{x^3}{(x-2)^2} = x– 2 + 6 + \cfrac{12x-16}{(x-2)^2} = x + 4 + \cfrac{4(3x-4)}{(x-2)^2}\) ,
\(f(x) = \cfrac{x}{4} + 1 \cfrac{(3x-4)}{(x-2)^2}\) .
Отсюда следует, что прямая \(y = \cfrac{x}{4} + 1\) является асимптотой графика функции \(y= f (x)\) при \(x \to \infty \) , причем график лежит выше асимптоты при \(x \gt \) [ ]и ниже асимптоты при \(x \lt \) [ ].
\(f(x)=\cfrac{(x-1)^3}{4(x+1)^2};\)
Решение:\(f (x) = \frac{((x + 1) – 2)^3}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^3 - 6(x+1)^2 + 12(x+1)}{(x+1)^2} = x+1-6+ \frac{12x+4}{(x+1)^2} = x-5 + \frac{4(3x+1)}{(x+1)^2}\) .
Асимптотой графика функции \(y = \frac{(x-1)^3}{4(x+1)^2}\) является прямая \(y = \) [ ].