Выполни задание

Построй график функции \(y = f (x)\) , если:

\(f(x) = \dfrac{(x+1)^3}{x^2}\) ;

Решение:

Функция \(f (x)\) определена при \(x \not = 0\) , а прямая \(x = 0\) — вертикальная асимптота графика этой функции; \(f (x) \gt 0\) при \(x \gt – 1\) , \(x \not = 0\) и \(f (x) \lt 0\) при \(x \lt – 1\) , \(f (– 1) = 0\) , т. е. график пересекает ось \(Ox\) в точке \((– 1; 0)\) .

Так как

\(\dfrac{(x+1)^3}{x^2} = \dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{x^2} = x+3 \dfrac{3x+1}{x^2}\) , т. е. \(f (x) = x+3 \dfrac{3x+1}{x^2}\) , то прямая \(y = x + 3\) — асимптота графика функции \(y = f (x)\) при \(x \to \infty\) , причем график лежит вышеасимптоты при \(x \gt \) [ ] и ниже асимптоты при \(x \lt \) [ ]; при \(x = \) [ ]график пересекает асимптоту.

\(f'(x) = \dfrac{3 (x + 1)^2 x2 - (x + 1)^32x}{x^4} = \dfrac{(x(x+1)^2(3x-2x-2)}{x^4} =\dfrac{(x+1)^2(x-2)}{x^4}\) ,

\(f''(x) = \dfrac{x^3 (2 (x + 1) (x - 2) + (x + 1)^2) – (x + 1)^2 (x - 2) 3x^2}{x^6} = \dfrac{6(x+1)}{x^4}\) , \(x \not = 0\) .

Так как \(f' (2)= 0\) и \(f' (x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x =2\) , то \(x = 2\) — точка минимума функции \(f (x)\) , причем \(f (2)= \dfrac{27}{4}\) .

Функция \(f''(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x = – 1\) . Поэтому точка \(x = – 1 \) — точка перегиба функции \(f (x)\) и \(f' (– 1) = 0.\)

Если \(x \lt – 1\) , то \(f''(x) \lt 0\) , а если \(x \gt – 1\) , \(x \not = 0\) , то \(f''(x) \gt 0\) . Следовательно, функция \(f (x)\) выпукла вверх при \(x \lt \) [ ] и выпукла вниз при \(x \gt\) [ ], \(x \not = 0\) .

График функции \(y = \dfrac{(x+1)^3}{x^2}\) представлен на рисунке