Напиши свой ответ Определить размеры закрытой коробки объема V с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала. Решение: Пусть x — сторона основания коробки, h — высота коробки, S — площадь ее полной поверхности. Тогда S = 2x^{2} + 4xh, V = x^{2}h, откуда S(x) = 2x^{2} + \dfrac{4V}{x}, и, следовательно, S'(x) = 4 \big( x - \dfrac{V}{x^{2}} \big). Уравнение S'(x) = 0 при x \gt 0 имеет единственный корень x_{0} = \sqrt[3]{V}, причем при переходе через точку x_{0} функция S'(x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, — точка минимума функции S(x), а число S(x_{0}) является наименьшим значением этой функции при . Из формулы V = x^{2}h следует, что если x = \sqrt[3]{V}, то h = \sqrt[3]{V}. Таким образом, высота коробки должна быть равна стороне основания, т. е. коробка должна быть кубом с ребром .

Задание

Напиши свой ответ

Определить размеры закрытой коробки объема \(V\) с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала.

Решение:

Пусть \(x\) — сторона основания коробки, \(h\) — высота коробки, \(S\) — площадь ее полной поверхности. Тогда \(S = 2x^{2} + 4xh\) , \(V = x^{2}h\) , откуда \(S(x) = 2x^{2} + \dfrac{4V}{x}\) , и, следовательно, \(S'(x) = 4 \big( x - \dfrac{V}{x^{2}} \big)\) .

Уравнение \(S'(x) = 0\) при \(x \gt 0\) имеет единственный корень \(x\_{0} = \sqrt[3]{V}\) , причем при переходе через точку \(x\_{0}\) функция \(S'(x)\) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, [ ] — точка минимума функции \(S(x)\) , а число \(S(x\_{0})\) является наименьшим значением этой функции при [ ]. Из формулы \(V = x^{2}h\) следует, что если \(x = \sqrt[3]{V}\) , то \(h = \sqrt[3]{V}\) . Таким образом, высота коробки должна быть равна стороне основания, т. е. коробка должна быть кубом с ребром [ ].

Похожие

Тот же тест