Основано на упр. 1 стр. 41
Заполни пропуски в решении
Найди промежутки возрастания и убывания функции \(f(x)\) , если:
- \(f(x) = x^{5} - 5x^{4}+5x^{3}-2\) ;
- \(f(x) = (x-1)^{2}(x+2)^{3}\) ;
- \(f(x) = \dfrac{(x-3)^{3}}{(x-2)^{2}}\) ;
- \(f(x) = (x-3)^{2}e^{|x|}\) .
Решение:
Так как \(f'(x) = 5x^{4}-20x^{3}+15x^{2} = 5x^{2}(x^{2}-4x+3) = 5x^{2}(x-1)(x-3)\) , то \(f'(x) \gt\) [ ] при \(x \gt 3, f'(x) = 0\) при \(x=0, x=1, x=3\) и при \(f'(x) \gt 0\) при \(x \lt 1, x \not = 0\) . По теореме 2 функция \(f(x)\) возрастает при \(x \lt 0, \space 0 \lt x \lt 1, x \gt 3\) .
При \(1 \lt x \lt 3\) выполняется неравенство \(f'(x) \lt 0\) , и поэтому функция \(f(x)\) убывает на интервале ([ ];[ ]).
\(f'(x) = 2(x-1)(x+2)^{3} + 3 (x-1)^{2}(x+2)^{2} = (x+2)^{2}(x-1)(5x+1), f'(x) \gt 0\) при \(x \lt -2\) , при \(-2 \lt x \lt - \dfrac{1}{5}\) и при \(x \gt\) [ ]. Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает при \(x \lt \) [ ], \(-2 \lt x \lt -\dfrac{1}{5}\) и \(x \gt\) [ ].
Если \(- \dfrac{1}{5} \lt x \lt 1\) , то \(f'(x) \lt 0\) , и потому функция \(f(x)\) убывает на интервале \(\left( -\dfrac{1}{5}; 1 \right)\) .
Если \(x \not = 2\) , то \(f'(x) = \dfrac{3(x-3)^{2}(x-2)^{2}-(x-3)^{3}2(x-2)}{(x-2)^{4}} = \dfrac{5(x-3)^{2}x}{(x-2)^{3}} \) . При \(x \lt 0, \space 2 \lt x \lt 3\) и \(x\gt{3}\) справедливо неравенство \(f'(x) \gt 0\) , и поэтому функция \(f ( x )\) возрастает на этих интервалах. Если \(0\lt{x}\lt{2}\) , то \(f'(x)\lt 0\) , и поэтому функция \(f (x)\) убывает на интервале ([ ]; [ ]).
Если \(x \lt 0\) , то \(f(x) = (x-3)^{2}e^{-x}, f'(x) = 2(x-3)e^{-x} - (x-3)^{2}e^{-x} = (x-3)(5-x)e^{-x}\) .
Если \(x \gt 0, \space f'(x) = 2(x-3)e^{x}+(x-3)^{2}e^{x} = (x-3)(x-1)e^{x}\) . Отсюда следует, что \(f'(x) \lt 0\) при \(x \lt 0\) и при \(1 \lt x \lt 3\) , а \(f'(x) \gt 0\) при \(0 \lt x \lt 1\) и при \(x \gt 3\) .
Поэтому функция \(f ( x )\) возрастает на промежутках \(0 \lt x \lt 1\) и \(x \gt 3\) и убывает при \(x \lt 0\) и при [ ] \(\lt x \lt\) [ ].