На основе упражнения 83 (стр. 62) Докажите утверждения Если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то высоты всех боковых граней, проведенные к сторонам основания пирамиды, равны между собой; Высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание. Доказательство: 1. Пусть отрезок MO — высота пирамиды MA_{1}A_{2} … A_{n}, \space OH_{1} \bot A_{1}A_{2}, \space OH_{2} \bot A_{2}A_{3}. Тогда MH_{1} A_{1}A_{2}, \space MH_{2} A_{2}A_{3} (по теореме ). Отсюда следует, что углы MH_{1}O и MH_{2}O как линейные углы равных углов MA_{1}A_{2}O и MA_{2}A_{3}O. Так как \triangle MH_{1}O и \triangle MH_{2}O равны , то MH_{1} MH_{2}. Аналогично можно доказать равенство высот всех боковых граней пирамиды, проведённых к сторонам основания пирамиды. 2. Так как \triangle MH_{1}O = \triangle MH_{2}O, то OH_{1} , OH_{2}. Аналогично можно доказать, что равны расстояния от точки O до всех сторон основания пирамиды. Следовательно, точка O — окружности, в основание пирамиды, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Наосновеупражнения \(83\) (стр. \(62\) )
Докажитеутверждения

Есливседвугранныеуглыприоснованиипирамидыравнымеждусобой, то

  1. высотывсехбоковыхграней, проведенныексторонамоснованияпирамиды, равнымеждусобой;
  2. Высотапирамидыпроходитчерезцентрокружности, вписаннойвоснование.

Доказательство:

\(1.\) Пустьотрезок \(MO\) — высотапирамиды \(MA\_{1}A\_{2}…A\_{n}, \spaceOH\_{1}\botA\_{1}A\_{2}, \spaceOH\_{2}\botA\_{2}A\_{3}\) .Тогда \(MH\_{1}\) [ \(\bot\) | \(=\) | \(\text{\textbardbl}\) ] \(A\_{1}A\_{2}, \spaceMH\_{2}\) [ \(\bot\) | \(=\) | \(\text{\textbardbl}\) ] \(A\_{2}A\_{3}\) (потеореме[о трёх перпендикулярах|о сумме внутренних углов|Пифагора]).

Отсюдаследует, чтоуглы \(MH\_{1}O\) и \(MH\_{2}O\) [равны|накрест лежащие|перпендикулярные]каклинейныеуглыравных[соответственных|двугранных|противолежащих]углов \(MA\_{1}A\_{2}O\) и \(MA\_{2}A\_{3}O\) .

Таккак \(\triangleMH\_{1}O\) и \(\triangleMH\_{2}O\) равны[по двум катетам|по катету и противолежащему углу|по гипотенузе и катету|по гипотенузе и противолежащему углу], то \(MH\_{1}\) [ \(\bot\) | \(=\) | \(\text{\textbardbl}\) ] \(MH\_{2}\) . Аналогичноможнодоказатьравенствовысотвсехбоковыхгранейпирамиды, проведённыхксторонамоснованияпирамиды.

\(2.\) Таккак \(\triangleMH\_{1}O=\triangleMH\_{2}O\) , то \(OH\_{1}\) [ \(\bot\) | \(=\) | \(\text{\textbardbl}\) ], \(OH\_{2}\) .Аналогичноможнодоказать, чторавнырасстоянияотточки \(O\) довсехстороноснованияпирамиды.Следовательно, точка \(O\) — [лежит внутри|центр|лежит вне]окружности, [описанной|вписанной]воснованиепирамиды, чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест