Найди площадь поверхности Основание пирамиды — прямоугольник ABCD, AB=18 м, BC=10 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найди площадь полной поверхности пирамиды. Решение. 1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле S_{полн} = + . Так как основание пирамиды — со сторонами 10 м и м , то S_{осн} = \cdot = (м^2). 2) Чтобы найти площадь боковой пирамиды, вычислим площади её граней. В прямоугольнике ABCD AC BD, диагонали в точке O, поэтому AO = BO = = . Отрезок MO — высота пирамиды, значит, MO — к плоскости основания, и отрезки AO, BO, , DO — проекции наклонных AM, , и на плоскость основания. Следовательно, AM = BM = = и \triangle ABM = \triangle , а \triangle BCM = \triangle (по трём ), поэтому S_{ABM} S_{CDM} и S_{BCM} S_{ADM}. 3) Пусть MK \perp AB, тогда ОK AB (обратная теорема о перпендикулярах) и ОK = \cdot BC = 0,5 \cdot = (м). Аналогично если MN \perp BC, то ON = \cdot AB = 0,5 \cdot = (м). Поскольку MO \perp ABC, то MO OK, а значит, = = = (м). Аналогично = = = (м). Итак, S_{ABM} = 0,5AB \cdot = \cdot 18 \cdot = (м^2), S_{BCM} = м^2. Отсюда получаем: S_{бок} = 2(S_{ABM} + ) = \cdot ( + ) = (м^2), S_{полн} = + = (м^2). Ответ: S_{полн} = м^2.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Найди площадь поверхности

Основание пирамиды — прямоугольник \(ABCD\) , \(AB=18 \) м, \(BC=10 \) м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна \(12\) м. Найди площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

  1. Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле \(S\_{полн} = \) [ \(S\_{осн}\) | \(S\_{грани}\) | \(S\_{треуг}\) ] \(+\) [ \(S\_{треуг}\) | \(S\_{грани}\) | \(S\_{бок}\) ]. Так как основание пирамиды — [параллелограмм|ромб|прямоугольник|трапеция] со сторонами \(10\) м и[ ] м , то \(S\_{осн} = \) [ ] \(\cdot \) [ ] \(=\) [ ] (м \(^2\) ).

  2. Чтобы найти площадь боковой [поверхности|стороны|плоскости] пирамиды, вычислим площади её [основных|боковых|треугольных] граней.

В прямоугольнике \(ABCD\) \(AC\) [ ] \(BD\) , диагонали [параллельны|перпендикулярны|пересекаются] в точке \(O\) , поэтому \(AO = BO =\) [ ] \(=\) [ ]. Отрезок \(MO\) — высота пирамиды, значит, \(MO\) — [параллель|перпендикуляр] к плоскости основания, и отрезки \(AO\) , \(BO\) ,[ ], \(DO\) — проекции наклонных \(AM\) ,[ ], [ ] и [ ] на плоскость основания. Следовательно, \(AM = BM =\) [ ] \(=\) [ ] и \(\triangle ABM = \triangle \) [ ], а \(\triangle BCM = \triangle \) [ ] (по трём [углам|сторонам|вершинам]), поэтому \(S\_{ABM}\) [ ] \(S\_{CDM}\) и \(S\_{BCM}\) [ ] \(S\_{ADM}\) .

  1. Пусть \(MK \perp AB\) , тогда \(ОK\) [ ] \(AB\) (обратная теорема о [двух|четырёх|трёх] перпендикулярах) и \(ОK =\) [ ] \( \cdot BC = 0,5 \cdot \) [ ] \(=\) [ ] (м). Аналогично если \(MN \perp BC\) , то \(ON =\) [ ] \(\cdot AB = 0,5 \cdot\) [ ] \(=\) .

Поскольку \(MO \perp ABC\) , то \(MO\) [ ] \(OK\) , а значит, [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) .

Аналогично [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) .

Итак, \(S\_{ABM} = 0,5AB \cdot\) [ ] \(=\) [ ] \(\cdot 18 \cdot\) [ ] \(=\) [ ] (м \(^2\) ), \(S\_{BCM} =\) [ ] м \(^2\) . Отсюда получаем: \(S\_{бок} = 2(S\_{ABM} +\) [ \(S\_{BCM}\) | \(S\_{ABM}\) | \(S\_{ACM}\) ] \() =\) [ ] \(\cdot (\) [ ] \(+\) [ ] \() =\) [ ] (м \(^2\) ), \(S\_{полн} =\) [ ] \(+\) [ ] \(=\) [ ] (м \(^2\) ).

Ответ: \(S\_{полн} =\) [ ] м \(^2\) .

Тот же тест