Задание

На основе упражнения 81 (стр. 60).

Выполни задание

Если все боковые рёбра пирамиды равны между собой, то:

высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;

все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.

Доказательство:

Пусть основание пирамиды — многоугольник A_{1}A_{2} … A_{n}, отрезок PO — высота пирамиды. Тогда отрезки OA_{1}, , …, OA_{n} — проекции боковых PA_{1}, PA_{2}, …, на плоскость основания. Так как PA_{1} = PA_{2} = … = , то OA_{1} OA_{2} … OA_{n}.

Следовательно, точка O равноудалена от многоугольника A_{1}A_{2} … A_{n}, поэтому она является окружности, около основания пирамиды.

\triangle A_{1}PO = \triangle =…= \triangle A_{n}PO (по гипотенузе и ), следовательно, \angle PA_{1}O = \angle = … = \angle PA_{n}O, что и требовалось доказать.