Заполни пропуски

Ещё один метод отбора корней тригонометрического уравнения. Он состоит в простом переборе значений целочисленного параметра \(n\) .

Найди корни уравнения \(\ctg \left(x-\dfrac{\pi}{4 }\right )=\sqrt{3}\) , принадлежащие промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .

Решение. Запишем решения данного уравнения:

\(x=\dfrac{5\pi }{12}+\pi n\) , \(n\in \Z\) .

Теперь будем перебирать различные значения \(n\) и подставлять их в формулу корней. Полученные значения отметим на числовой прямой, проверив, принадлежат ли они промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .

1. Если \(n=0\) , то \(x=\dfrac{5\pi }{12}\) . Так как \(\dfrac{5}{12}\lt \dfrac{1}{2}\) , то \(\dfrac{5\pi }{12}\lt \dfrac{\pi }{2}\) , значит, найденный корень не принадлежит промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .
2. Если \(n=1\) , то \(x=\dfrac{5\pi }{12}+\pi =\dfrac{17\pi }{12}\) . Так как \(\dfrac{\pi }{2}\lt \dfrac{17\pi }{12}\lt\dfrac{5\pi }{2}\) , то найденный корень принадлежит промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .
3. Если \(n=2\) , то \(x=\) [ ], данный корень [принадлежит|не принадлежит] промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .
4. Если \(n=3\) , то \(x=\) [ ], данный корень [принадлежит|не принадлежит] промежутку \(\left [\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .

Обрати внимание! Для того, чтобы показать, что других корней из данного промежутка не существует, нужно обязательно получить хотя бы по одному значению левее и правее данного промежутка.

Ответ: \(\dfrac{17\pi }{12}\) ; [ ].