Перенеси ответы
Следующий метод отбора корней тригонометрического уравнения заключается в решении неравенств в целых числах. Приведём пример.
Найди корни уравнения \(\tg \left (x-\dfrac{\pi }{3}\right )=1\) , принадлежащие промежутку \(\left [-\dfrac{3\pi }{2};0\right ]\) .
Решение.
Запишем решения данного уравнения:
\(x=\dfrac{7\pi }{12}+\pi n\) , \(n\in \Z\) .
То, что \(x\in \left [-\dfrac{3\pi }{2};0\right ]\) , означает, что \(-\dfrac{3\pi }{2}\leqslant x\leqslant 0\) . Подставим в последнее двойное неравенство вместо \(x\) выражение для корней:
\(-\dfrac{3\pi }{2}\leqslant \dfrac{7\pi }{12}+\pi n\leqslant 0\) .
Чтобы ответить на вопрос задачи, нам необходимо решить это двойное неравенство.
Разделим неравенство на \(\pi\) :
\(-\dfrac{3}{2}\leqslant \dfrac{7}{12}+n\leqslant 0\) .
Из каждой части этого неравенства вычтем \(\dfrac{7}{12}\) :
\(-\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac{7}{12}\) ;\(-2\dfrac{1}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac{7}{12}\) .
Так как \(n\in \Z\) , выберем целые \(n\) , принадлежащие полученному нами промежутку \(\left [-2\dfrac{1}{12};-\dfrac{7}{12}\right ]\) . В этом промежутке их два:
\(n=-1\) и \(n=-2\) .
Мы нашли целые \(n\) , при которых корни уравнения будут лежать в промежутке \(\left [-\dfrac{3\pi }{2};0\right ]\) . Теперь нам остается найти сами корни. Для этого подставим вместо \(n\) значения \(-1\) и \(-2\) в формулу корней \(x=\dfrac{7\pi }{12}+\pi n\) .
Ответ.
- \(-\dfrac{17\pi }{12}\)
- \(-\dfrac{\pi }{3}\)
- \(\dfrac{7\pi }{12}\)
- \(-\dfrac{5\pi }{12}\)
Если \(n=-1\) , то \(x=\) [ ].
Если \(n=-2\) , то \(x=\) [ ].