Докажем справедливость неравенства \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot ... \cdot \cfrac{99}{100} \lt \cfrac{1}{10}. Доказательство. Обозначим A = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot ... \cdot \cfrac{99}{100}; \, \, B = \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot ... \cdot \cfrac{100}{101}.. Так как \cfrac{1}{2} \lt \cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4} \lt \cfrac{4}{5}, \cfrac{5}{6} \lt \cfrac{6}{7}, \space ... \space, \cfrac{99}{100} \lt \cfrac{100}{101}, то A B. Так как A \gt 0, то A^{2} \lt AB. Так как AB = \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99 \cdot 100}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot 100 \cdot 101} = \cfrac{1}{101} \lt \cfrac{1}{100} = , то A^{2} \lt \left(\cfrac{1}{10}\right)^{2}. Отсюда, учитывая, что A \gt , получаем A \lt , что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполнипропуски

Докажемсправедливостьнеравенства

\(\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{3}{4}\cdot\cfrac{5}{6}\cdot ... \cdot\cfrac{99}{100}\lt\cfrac{1}{10}.\)

Доказательство.

Обозначим \(A=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{3}{4}\cdot\cfrac{5}{6}\cdot ... \cdot\cfrac{99}{100}; \,\) \(\, B=\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{4}{5}\cdot\cfrac{6}{7}\cdot ... \cdot\cfrac{100}{101}.\) .

Таккак \(\cfrac{1}{2}\lt\cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4}\lt\cfrac{4}{5}, \cfrac{5}{6}\lt\cfrac{6}{7}, \space ... \space, \cfrac{99}{100}\lt\cfrac{100}{101},\) то \(A\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(B\) .

Таккак \(A\gt0,\) то \(A^{2}\ltAB\) . Таккак \(AB=\cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot ... \cdot99\cdot100}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot ... \cdot100\cdot101}=\cfrac{1}{101}\lt\cfrac{1}{100}=\) [ ], то \(A^{2}\lt\left(\cfrac{1}{10}\right)^{2}\) .

Отсюда, учитывая, что \(A\gt\) [ ], получаем \(A\lt\) [ ], чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест