Основано на упр. 2 стр. 10

Выполни задание

Докажи, что для любого действительного числа \(x\) справедливо неравенство \(x^2-5x+\dfrac{1}{x^2-5x+7}\geqslant-5\) .

Доказательство:

Прибавив к обеим частям неравенства число \(7\) , получи неравенство

Уравнение \((1)\)

[ \(x^2-5x+7+\frac{1}{x^2-5x+7}\geqslant2\) | \(A=x^2-5x+7\) | \(A+\frac{1}{A}\geqslant2\) ].

Для доказательства исходного неравенства достаточно доказать справедливость неравенства \((1)\) . Так как дискриминант квадратного трехчлена [ \(x^2-5x+7+\frac{1}{x^2-5x+7}\geqslant2\) | \(A=x^2-5x+7\) | \(A+\frac{1}{A}\geqslant2\) ] отрицательный и коэффициент при \(x^2\) положительный, то \(A\gt\) [ ] для любого действительного числа \(x\) . Но для любого положительного \(A\) справедливо неравенство [ \(x^2-5x+7+\frac{1}{x^2-5x+7}\geqslant2\) | \(A=x^2-5x+7\) | \(A+\frac{1}{A}\geqslant2\) ], поэтому справедливо неравенство \((1)\) , что и требовалось доказать.