ОснованонаПримересрешением1, стр.11

Заполнипропуски

Докажиметодомматематическойиндукции, что \(3^{2n-1}+5^{n+1}\) делитсяна \(4\) длялюбогонатуральногочисла \(n\) .

Доказательство:

Обозначим \(A(n)=3^{2n-1}+5^{n+1}\) .

1. \(A(1)=\) \(3+25=\) [ ], — делитсяна \(4\) .

2)Предположим, что \(A(k)=3^{2k-1}+5^{k+1}\) делитсяна \(4\) , идокажем, что \(A(k+1)\) делитсяна \(4\) .

\(A(k+1)=3^{2k+1}+5^{k+2}=3^{2k-1+2}+5^{k+1+1}=9\cdot3^{2k-1}+5\cdot5^{k+1}=4\cdot3^{2k-1}+5\cdotA(k)\) .

Таккак, понашемупредположению, \(A(k)\) делитсяна \(4\) , то \(5\cdotA(k)\) делитсяна4.Слагаемое \(4\cdot3^{2k-1}\) тожеделитсяна \(4\) , поэтомуисумма, равная \(A(k+1)\) , делитсяна \(4\) .

Согласнопринципуматематическойиндукцииэтоозначает, чтовыражение \(A(n)\) делитсяна \(4\) длялюбогонатуральногочисла \(n\) , чтоитребовалосьдоказать.