Основано на Примере с решением 1, стр. 11 Докажи методом математической индукции, что 3^{2n-1}+5^{n+1} делится на 4 для любого натурального числа n. Доказательство: Обозначим A(n)=3^{2n-1}+5^{n+1}. 1) A(1)= 3+25= , — делится на 4. 2) Предположим, что A(k)=3^{2k-1}+5^{k+1} делится на 4, и докажем, что A(k+1) делится на 4. A(k+1)=3^{2k+1}+5^{k+2}=3^{2k-1+2}+5^{k+1+1}=9 \cdot 3^{2k-1}+5 \cdot 5^{k+1}=4 \cdot 3^{2k-1}+5 \cdot A(k). Так как, по нашему предположению, A(k) делится на 4, то 5 \cdot A(k) делится на 4. Слагаемое 4 \cdot 3^{2k-1} тоже делится на 4, поэтому и сумма, равная A(k+1), делится на 4. Согласно принципу математической индукции это означает, что выражение A(n) делится на 4 для любого натурального числа n, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

ОснованонаПримересрешением1, стр.11

Заполнипропуски

Докажиметодомматематическойиндукции, что \(3^{2n-1}+5^{n+1}\) делитсяна \(4\) длялюбогонатуральногочисла \(n\) .

Доказательство:

Обозначим \(A(n)=3^{2n-1}+5^{n+1}\) .

  1. \(A(1)=\) \(3+25=\) [ ], — делитсяна \(4\) .

2)Предположим, что \(A(k)=3^{2k-1}+5^{k+1}\) делитсяна \(4\) , идокажем, что \(A(k+1)\) делитсяна \(4\) .

\(A(k+1)=3^{2k+1}+5^{k+2}=3^{2k-1+2}+5^{k+1+1}=9\cdot3^{2k-1}+5\cdot5^{k+1}=4\cdot3^{2k-1}+5\cdotA(k)\) .

Таккак, понашемупредположению, \(A(k)\) делитсяна \(4\) , то \(5\cdotA(k)\) делитсяна4.Слагаемое \(4\cdot3^{2k-1}\) тожеделитсяна \(4\) , поэтомуисумма, равная \(A(k+1)\) , делитсяна \(4\) .

Согласнопринципуматематическойиндукцииэтоозначает, чтовыражение \(A(n)\) делитсяна \(4\) длялюбогонатуральногочисла \(n\) , чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест