Выполни задание
В тетраэдре \(ABCD\) \(\angle ABC=\angle ABD=\angle CBD=90\degree \) , \(AB=BD=2\) , \(BC=1\) .
Вычисли синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\) , и плоскостью грани \(ABD\) .
Решение.
По условию \(\angle ABC=\angle\) _____ \(=\angle CBD=\angle\) _____. Поэтому можно ввести прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\) так, как показано на рисунке. Тогда \(A\) \((2\) ; \(0\) ; \(\dots )\) , \(C\) \((0\) ; \(\dots \) ; \(0)\) , \(D\) \((0\) ; \(\dots \) ; \(\dots )\) .
Пусть точка \(K\) — середина ребра \(AD\) , точка \(P\) — середина _____ \(BC\) . Тогда \(K\) \((1\) ; \(\dots \) ; \(\dots )\) , \(P\) \((\dots \) ; \(0,5\) ; \(\dots )\) .
Пусть \(\varphi \) — угол между прямой \(KP\) и _____ грани \(ABD\) . Синус угла \(\varphi \) равен модулю _____ угла \(\beta \) между _____ вектором \(\vec{KP} \) прямой \(KP\) и вектором \(\vec{BC} \) , _____ к плоскости \(ABD\) .
Так как \(\vec{KP} \) { \(-1\) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }, \(\vec{BC} \) { \(0\) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }, то
\(\sin \varphi =|\) \(\cos \) _____ \( |\) \(= \dfrac{|-1\cdot 0+0,5\cdot \ldots +(\dots )\cdot \dots |}{\sqrt{1^2+\dots }\cdot \sqrt{0^2+\dots }}=\dfrac{|\dots |}{\sqrt{\dots }\cdot\sqrt{\dots }}=\) _____.