Отрезок MH — высота правильного тетраэдра MABC с ребром, равным 2 см. Вычисли скалярное произведение векторов: а) \vec{AB} и \vec{AC}; б) \vec{AB} и \vec{BC}; в) \vec{BC} и \vec{AC}; г) \vec{AB} и \vec{OB}; д) \vec{AB} и \vec{CM}; е) \vec{MH} и \vec{AB}. Решение. Все грани правильного тетраэдра — _____ треугольники, поэтому каждый из углов в этих треугольниках равен _____. а) Векторы \vec{AB} и \vec{AC} отложены от _____ точки, поэтому угол между векторами \vec{AB} и _____ равен углу BAC, т. е. \widehat{\vec{AB} \, \vec{AC} }= _____. Отсюда получаем \vec{AB} \cdot \vec{AC} =2\cdot _____ \cdot\cos _____\degree =4\cdot _____ = _____. б) Отложим от точки B вектор \vec{BA_1} =\vec{AB} (выполни построение на рисунке). Тогда угол между векторами \vec{AB} и \vec{BC} будет равен углу _____. Так как углы A_1BC и ABC _____, то \angle A_1BC=180\degree - _____ = _____. Поэтому \widehat{\vec{AB} \, \vec{BC} }= _____. Следовательно, \vec{AB} \cdot \vec{BC} = _____ \cdot _____ \cdot \cos _____ = _____ = _____. в) Отложим от точки C векторы \vec{CB_2} =\vec{BC} и \vec{CA_2} = \vec{AC} (выполни построение на рисунке). Угол между векторами \vec{BC} и \vec{AC} равен углу _____. Так как углы A_2CB_2 и ACB — _____, то \angle A_2CB_2=\angle _____ = _____. Следовательно, \vec{AB} \cdot \vec{BC} = _____\cdot _____ \cdot _____ = _____. г) Векторы \vec{AB} и \vec{OB} _____ , поэтому угол между ними равен _____. Следовательно, \vec{AB} \cdot \vec{OB} = _____. д) Так как отрезок MH является _____ правильного тетраэдра, то точка H — _____ основания тетраэдра, поэтому точка H лежит на _____ треугольника ABC, и, значит, CO\perp _____. Поскольку прямая CO является проекцией прямой _____ на плоскость ABC и CO\perp _____, то по теореме о трёх _____ CM\perp _____. Следовательно, \widehat{\vec{AB} \, \vec{CM} } = _____. Поэтому \vec{AB} \cdot \vec{CM} = _____ =_____ = _____. е) Так как отрезок MH — _____ тетраэдра, то MH _____ABC. Следовательно, по определению прямой, _____ плоскости, прямая MH _____ к _____ прямой этой плоскости, в том числе MH _____AB. Поэтому \widehat{\vec{MH} \, \vec{AB} } = ____

Задание

Выполни задание

Отрезок \(MH\) — высота правильного тетраэдра \(MABC\) с ребром, равным \(2\) см. Вычисли скалярное произведение векторов:

а) \(\vec{AB} \) и \(\vec{AC} \) ;

б) \(\vec{AB} \) и \(\vec{BC} \) ;

в) \(\vec{BC} \) и \(\vec{AC} \) ;

г) \(\vec{AB} \) и \(\vec{OB} \) ;

д) \(\vec{AB} \) и \(\vec{CM} \) ;

е) \(\vec{MH} \) и \(\vec{AB} \) .

Решение.

Все грани правильного тетраэдра —_____ треугольники, поэтому каждый из углов в этих треугольниках равен _____.

а) Векторы \(\vec{AB} \) и \(\vec{AC} \) отложены от _____ точки, поэтому угол между векторами \(\vec{AB} \) и _____ равен углу \(BAC\) , т. е. \(\widehat{\vec{AB} \, \vec{AC} }=\) _____. Отсюда получаем \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} =2\cdot \) _____ \(\cdot\cos \) _____ \(\degree =4\cdot \) _____ \(=\) _____.

б) Отложим от точки \(B\) вектор \(\vec{BA\_1} =\vec{AB} \) (выполни построение на рисунке). Тогда угол между векторами \(\vec{AB} \) и \(\vec{BC} \) будет равен углу _____. Так как углы \(A\_1BC\) и \(ABC\) _____, то \(\angle A\_1BC=180\degree -\) _____ \(=\) _____. Поэтому \(\widehat{\vec{AB} \, \vec{BC} }=\) _____. Следовательно, \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} =\) _____ \(\cdot \) _____ \(\cdot \cos\) _____ \(=\) _____ \(=\) _____.

в) Отложим от точки \(C\) векторы \(\vec{CB\_2} =\vec{BC} \) и \(\vec{CA\_2} = \vec{AC} \) (выполни построение на рисунке). Угол между векторами \(\vec{BC} \) и \(\vec{AC} \) равен углу_____. Так как углы \(A\_2CB\_2\) и \(ACB\) — _____, то \(\angle A\_2CB\_2=\angle \) _____ \(=\) _____. Следовательно, \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} =\) _____ \(\cdot \) _____ \(\cdot \) _____ \(=\) _____.

г) Векторы \(\vec{AB} \) и \(\vec{OB} \) _____, поэтому угол между ними равен _____. Следовательно, \(\vec{AB} \cdot \vec{OB} =\) _____.

д) Так как отрезок \(MH\) является _____правильного тетраэдра, то точка \(H\) — _____основания тетраэдра, поэтому точка \(H\) лежит на _____треугольника \(ABC\) , и, значит, \(CO\perp \) _____. Поскольку прямая \(CO\) является проекцией прямой _____ на плоскость \(ABC\) и \(CO\perp \) _____, то по теореме о трёх _____ \(CM\perp \) _____. Следовательно, \(\widehat{\vec{AB} \, \vec{CM} } =\) _____. Поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{CM} =\) _____ \(=\) _____ \(=\) _____.

е) Так как отрезок \(MH\) — _____тетраэдра, то \(MH\) _____ \(ABC\) . Следовательно, по определению прямой, _____ плоскости, прямая \(MH\) _____к _____прямой этой плоскости, в том числе \(MH\) _____ \(AB\) . Поэтому \(\widehat{\vec{MH} \, \vec{AB} } =\) _____.

Похожие

Тот же тест