Рассмотри решение неравенства

Решим неравенство

\(\sqrt{2x-3}\gt 2x-5\) .

Решение.

Обозначив \(t=\sqrt{2x-3}\) , перепишем неравенство в виде

\(t^2-t-2\lt 0\) .

Все решения неравенства есть все \(t\) , такие, что \(−1\lt t\lt 2\) . Следовательно, все решения неравенства являются решениями системы неравенств \(\begin{cases} \sqrt{2x-3}\gt -1, \\ \sqrt{2x-3}\lt 2 \end{cases}\) .

Функция \(\sqrt{u}\) определена лишь при \(u\geqslant 0\) , и для этих \(u\) она неотрицательна, поэтому первое неравенство системы справедливо для любого \(x\) , удовлетворяющего неравенству \(2x-3\geqslant 0\) , то есть для \(x\geqslant 1,5\) , а так как функция \(u\) возрастает для \(u\geqslant 0\) , то неравенство \(\sqrt{u}\lt \sqrt{4}\) справедливо тогда и только тогда, когда \(0\leqslant u\lt 4\) , поэтому второе неравенство системы справедливо для любого \(x\) , удовлетворяющего двойному неравенству \(0\leqslant 2x-3 \lt 4\) . Решения этого двойного неравенства есть промежуток \([1,5;3,5)\) , но тогда множество решений системы есть промежуток \([1,5;3,5)\) .

Следовательно, исходное неравенство имеет то же множество решений.

Ответ: \([1,5;3,5)\) .