Реши уравнение

Решим уравнение \(\sqrt[3]{5x+1}+\sqrt[4]{3x}=\sqrt[7]{1-3x}\) .

Решение.

Все корни уравнения принадлежат множеству \([0;+\infty )\) . На множестве \([0;+\infty )\) функция \(f(x)=\sqrt[3]{5x+1}+\sqrt[4]{3x}\) возрастает, а функция \(g(x)=\sqrt[7]{1-3x}\) убывает, поэтому если найдётся значение \(x\_0\in [0;+\infty )\) , такое, что \(f(x\_0)=g(x\_0)\) , то такое число единственное, так как для всех \(x\gt x\_0\) справедливы неравенства \(f(x)\gt f(x\_0)=g(x\_0)\gt g(x)\) , а для всех \(0\geqslant х\gt х\_0\) справедливы неравенства \(f(x)\lt f(x\_0)=g(x\_0)\lt g(x)\) .

Так как \(f(0)=g(0)\) , то \(x\_0=0\) — единственный корень уравнения.

Ответ: \(0\) .