Рассмотри решение уравнения

Решим уравнение

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2}\) .

Решение.

Обозначив \(t=\sqrt{x}\) , перепишем уравнение в виде

\(\dfrac{t-1}{t+1}-\dfrac{t-3}{t}=\dfrac{1}{2}\) .

Уравнение имеет два корня \(t\_1=-2\) и \(t\_2=3\) . Следовательно, все корни уравнения являются корнями двух уравнений:

(1) \(\sqrt{x}=-2\) и (2) \(\sqrt{x}=3\) .

Функция \(\sqrt{x}\) определена лишь при \(x\geqslant 0\) , на множестве \([0;+\infty )\) она неотрицательна, поэтому уравнение (1) не имеет корней. Так как эта функция на множестве \([0;+\infty )\) возрастает, то уравнение (2) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число \(x\_1=9\) является корнем уравнения (2).

Cледовательно, исходное уравнение также имеет единственный корень \(9\) .

Ответ: \(9\) .