Основанонаупр.6, стр.8.

Заполнипропускивдоказательстве

Лемма.Еслиоднаиздвух[параллельных|перпендикулярных|пересекающихся]прямыхпересекаетданнуюплоскость, тои[вторая прямая не пересекает|вторая прямая пересекает|вторая прямая параллельна]этуплоскость.

Дано: \(a\parallelb\) , \(M\) — точкапересеченияпрямой \(a\) иплоскости \(\alpha\) .

Доказать:прямая \(b\) [перпендикулярна плоскости \(\alpha\) |не пересекает плоскость \(\alpha\) |пересекает плоскость \(\alpha\) |параллельна плоскости \(\alpha\) ].

Доказательство.

Пусть \(\beta\) — плоскость, вкоторойлежатпараллельныепрямые \(a\) и \(b\) .Таккак \(M\in\alpha\) , \(M\in\beta\) , то[по аксиоме \(A\_{1}\) |по аксиоме \(A\_{2}\) |по аксиоме \(A\_{3}\) ]плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаютсяпонекоторойпрямой \(p\) , проходящейчерез[точку \(M\) |плоскость \(\alpha\) |прямую \(a\) ].Такимобразом, вплоскости \(\beta\) прямая \(p\) пересекаетпрямую \(a\) вточке[ \(N\) | \(M\) | \(b\) ], апотомуона[содержит|не пересекает|пересекает]ипараллельнуюей[прямую \(a\) |прямую \(p\) |прямую \(b\) ]внекоторойточке \(N\) , причёмточка \(N\in\alpha\) , таккак[ \(p \in \alpha\) | \(p \in \beta\) | \(N \in b\) ].Итак, \(N\) — общаяточкапрямой[ \(a\) | \(b\) | \(p\) ]иплоскости[ \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) ].Другихобщихточексплоскостью \(\alpha\) прямая \(b\) неимеет.Действительно, еслипредположить, чтопрямая \(b\) и[прямая \(p\) |плоскость \(\alpha\) |прямая \(a\) ]имеютещёодну[параллельную прямую|точку пересечения|общую точку|секущую], то, согласно[по аксиоме \(A\_{1}\) |по аксиоме \(A\_{2}\) |по аксиоме \(A\_{3}\) ], прямая \(b\) будетцеликомлежатьв[плоскости \(\beta\) |плоскости \(\alpha\) ], азначит, будетобщейпрямой[плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) |параллельной \(\alpha\) и \(\beta\) |принадлежащей \(a\) и \(p\) ]ипотомусовпадетc[прямой \(a\) |прямой \(b\) |прямой \(p\) ].Ноэтоневозможно, таккакпоусловию \(a\parallelb\) , апрямые \(a\) и \(p\) [параллельны|перпендикулярны|пересекаются].Леммадоказана.