Основано на упр. 80, стр. 41
Реши задачу

На рисунке из точки \(А\) к окружности с центром \(О\) проведены касательные \(АВ\) и \(АС\) ( \(В\) и \(С\) — точки касания), \(∠ВОС = 120\degree\) , а длина дуги \(ВМС\) равна \(12\) см. Найди длину окружности, вписанной в фигуру \(АВМС\) , т. е. касающейся сторон угла \(ВАС\) и дуги \(ВМС\) .

Решение:

Пусть \(O\_1\) — центр окружности, вписанной в фигуру \(АВМС\) , \(D\) — точка касания этой окружности со стороной АС. Обозначим радиус окружности с центром \(О\) через \(R\) , а радиус окружности с центром \(O\_1\) через \(r\) .

1. По условию \(ВОС = 120\) , поэтому длина дуги \(ВМС\) равна \(\dfrac{\pi R}{180}=\) [ ][ ]. С другой стороны, по условию длина этой дуги
   равна \(12\) см, следовательно, \(\frac{2\pi R}{3}=\) [ ], откуда \(R =\) [ ]см.
2. Прямоугольные треугольники \(АВО\) и \(АСО\) равны по гипотенузе и катету ( \(АО\) — общая[сторона|прямая], \(ОВ =\) [ ] \(= R\) ), поэтому \(ВОА =\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}\) [ ] \(=\) [ ], \(BAO =\) [ ] \(=\) [ ]. Катет, лежащий против угла в \(30\) , равен половине [гипотенузы|катета], значит, \(АО = 2\cdot\) [ ] \(=\) [ ]и, аналогично, \(AO\_1=2\cdot\) [ ] \(=\) [ ]
3. \(АО = АО1+О1М+\) [ ], т. е. \(2R =\) [ ] \(+\) [ ] \(+\) [ ] ,[ ] \(r =\) [ ],
   \(r =\) [ ] \(=\) , а длина окружности равна \(2\pi\cdot\) [ ] \(=\) .