Основано на упр. 1, стр. 25.

Заполни пропуски в доказательстве

С помощью определения предела функции докажи, что \(\lim\limits\_{x \rarr a} \sin x = \sin a\) .

Решение. Докажем, что для любого \(\varepsilon \gt 0 \) найдётся \(\delta \gt 0\) (зависящее от \(\varepsilon\) ), такое, что для всех \(x\) , удовлетворяющихусловию \(0 \lt \vert x-a \vert\lt \delta\) , справедливо неравенство \( \vert \sin x - \sin a \vert \lt \varepsilon\) . Так как для каждого \(x\) справедливо неравенство \( \vert \sin x \vert \le \vert x \vert \) , то, выполнив преобразование с помощью за­мены разности синусов их произведением, получим

\(\vert \sin x - \sin a \vert =\) [ ] \(\left \vert \cos\dfrac {x+a}{2}\sin \dfrac{x-a}{2}\right \vert \le 2 \left \vert \sin \dfrac{x-a}{2}\right \vert \le \vert x-a \vert \) .

Таким образом, \( \vert \sin x-\sin a \vert \le \vert x-a \vert \lt \delta\) для каждого [ ], удовлетворяющего условию \(0 \lt \vert x - a \vert \lt \delta\) . В качестве \(\delta\) можно взять \(\varepsilon\) , тогда верным будет соотношение \( \vert \sin x - \sin a \vert \le \vert x-a \vert \lt \delta \lt \varepsilon\) . Следовательно, доказано, что \( \lim\limits\_{x \rarr a} \sin x = \sin a \) .