Основано на упр. 5, стр. 24
Заполни пропуски в решении

Докажи, что \(\lim\limits\_{n \rarr \infin} \sqrt [n]{a} = 1\) при \(a \gt 1\) .

Решение.

Введём обозначение \(\sqrt [n]{a} - 1 = \alpha\_n.\) Тогда \(\alpha\_n \gt 0\) и \(a = (1 + \alpha\_n)^n,\) что по неравенству Бернулли \(((1 + \alpha\_n)^n \ge 1 + n\alpha\) при \(\alpha \gt - 1, n \in N)\) не меньше \(n \alpha\_n\) , иными словами, \((1+\alpha\_n)^n \ge n\alpha\_n,\) или \(a \ge n\alpha\_n.\) Отсюда \(0 \lt \alpha\_n \le \dfrac a n\) для всех \(n\) . Следовательно, по свойству 2 сходящихся последовательностей \(\lim\limits\_{n \rarr \infin} \alpha\_n =\) [ ], a \(\lim\limits\_{n \rarr \infin} \sqrt [n]{a} = \lim\limits\_{n \rarr \infin}(1 + \alpha\_n) =\) [ ].