Основано на упр. 4, стр. 23 Докажи, что \lim\limits_{n \rarr \infin} \dfrac {5n+2}{3n-1} = \dfrac 5 3. Найди номер N_{\varepsilon}, такой, что при всех n \ge N_{\varepsilon} справедливо неравенство \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon для \varepsilon = 0,1; \varepsilon = 0,01; \varepsilon = 0,001. Решение. По определению предела последовательности число \dfrac 5 3 является пределом последовательности, если для любого \varepsilon \gt 0 найдётся номер N_{\varepsilon} , такой, что при всех n \ge N_{\varepsilon} выполняется неравенство \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon. Так как \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| = \left|\dfrac {11}{3(3n-1)}\right| = \dfrac {11}{3(3n-1)}, то неравенство \left|\dfrac{5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon равносильно неравенству \dfrac {11}{3(3n-1)} \lt \varepsilon. Полученное неравенство верно для любого n \gt \dfrac {11+3\varepsilon}{9\varepsilon}. Следовательно, \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \gt \varepsilon при n \gt \dfrac {11 + 3\varepsilon}{9\varepsilon} . Значит, в качестве номера N_{\varepsilon} можно взять целую часть числа \dfrac {11 + 3\varepsilon}{9\varepsilon}, т. е. N_{\varepsilon} = \left[\dfrac {11+3\varepsilon}{9\varepsilon}\right]. Таким образом, доказано, что \lim\limits_{n \rarr \infin} \dfrac {5n+2}{3n-1} = \dfrac 5 3. Ответим на вторую часть задания, для чего найдём номер N_{\varepsilon}, такой, что при всех n \gt N_{\varepsilon} справедливо неравенство \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon для \varepsilon = 0,1. Пусть \varepsilon = 0,1, тогда N_{\varepsilon} = [\dfrac{11+3 \cdot 0,1}{9 \cdot 0,1}\right] = \left\left[\dfrac {11,3}{0,9}\right] = 12, N_{\varepsilon} = 12. Следовательно, неравенство \left|\dfrac{5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt справедливо для всех n \ge . Аналогично можно найти номера N_{\varepsilon}, начиная с которых неравенство \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon выполняется для \varepsilon = 0,01; \varepsilon = 0,001. Это будут числа 122 и 1222. Заметим, что данная последовательность x_n = \dfrac {5n+2}{3n-1} имеет предел, что означает, что она сходящаяся.

Задание

Основано на упр. 4, стр. 23
Заполни пропуски в решении

Докажи, что \(\lim\limits\_{n \rarr \infin} \dfrac {5n+2}{3n-1} = \dfrac 5 3\) . Найди номер \(N\_{\varepsilon}\) , такой, что при всех \(n \ge N\_{\varepsilon}\) справедливо неравенство \(\left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon\) для \(\varepsilon = 0,1; \varepsilon = 0,01; \varepsilon = 0,001\) .

Решение. По определению предела последовательности число \(\dfrac 5 3\) является пределом последовательности, если для любого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся номер \(N\_{\varepsilon}\) , такой, что при всех \(n \ge N\_{\varepsilon}\) выполняется неравенство \(\left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon\) . Так как \( \left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| = \left|\dfrac {11}{3(3n-1)}\right| = \dfrac {11}{3(3n-1)}\) , то неравенство \(\left|\dfrac{5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon\) равносильно неравенству \(\dfrac {11}{3(3n-1)} \lt \varepsilon.\) Полученное неравенство верно для любого \(n \gt \dfrac {11+3\varepsilon}{9\varepsilon}\) . Следовательно, \(\left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \gt \varepsilon\) при \(n \gt \dfrac {11 + 3\varepsilon}{9\varepsilon}\) . Значит, в качестве номера \(N\_{\varepsilon}\) можно взять целую часть числа \(\dfrac {11 + 3\varepsilon}{9\varepsilon}\) , т. е. \(N\_{\varepsilon} = \left[\dfrac {11+3\varepsilon}{9\varepsilon}\right]\) . Таким образом, доказано, что \(\lim\limits\_{n \rarr \infin} \dfrac {5n+2}{3n-1} = \dfrac 5 3\) .

Ответим на вторую часть задания, для чего найдём номер \(N\_{\varepsilon}\) , такой, что при всех \(n \gt N\_{\varepsilon}\) справедливо неравенство \(\left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon\) для \(\varepsilon = 0,1\) . Пусть \(\varepsilon = 0,1\) , тогда \(N\_{\varepsilon} = [\dfrac{11+3 \cdot 0,1}{9 \cdot 0,1}\right] = \left\left[\dfrac {11,3}{0,9}\right] = 12,\) \(N\_{\varepsilon} = 12\) . Следовательно, неравенство \(\left|\dfrac{5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt\) [ ]справедливо для всех \(n \ge\) [ ]. Аналогично можно найти номера \(N\_{\varepsilon}\) , начиная с которых неравенство \(\left|\dfrac {5n+2}{3n-1} - \dfrac 5 3\right| \lt \varepsilon\) выполняется для \(\varepsilon = 0,01; \varepsilon = 0,001\) . Это будут числа \(122\) и \(1222\) . Заметим, что данная последовательность \(x\_n = \dfrac {5n+2}{3n-1}\) имеет предел, что означает, что она сходящаяся.

Похожие

Тот же тест