Основано на упр. 1, стр. 22. Докажи, что последовательность x_n = \dfrac {(-1)^nn + 5}{\sqrt{n^2 +2}} , n \in N, ограничена. Решение. Докажем, что существуют числа с_1 и с_2, такие, что для любого члена последовательности х_n выполняется неравенство c_1 \le x_n \le c_2, n \in N. Поскольку для модуля числителя дроби справедливо неравенство |(-1)^nn + 5 |\le |(-1)^nn| + 5 = , а для знаменателя неравенство\sqrt{n^2 + 2} \gt n, то |x_n| = \dfrac {|(-1)^nn+5|}{\sqrt{n^2 + 2}} \le \dfrac {n+5}{n} = 1 + \dfrac 5 n \le 6, т. е. |x_n| \le . Следовательно, соотношение -6 \le x_n \le 6 выполняется для всех членов последовательности, и последовательность .

Задание

Основано на упр. 1, стр. 22.
Заполни пропуски в решении

Докажи, что последовательность \(x\_n = \dfrac {(-1)^nn + 5}{\sqrt{n^2 +2}} , n \in N,\) ограничена.

Решение. Докажем, что существуют числа \(с\_1\) и \(с\_2\) ,такие, что для любого члена последовательности \(х\_n\) выполняется неравенство \(c\_1 \le x\_n \le c\_2, n \in N\) . Поскольку для модуля числителя дроби справедливо неравенство \(|(-1)^nn + 5 |\le |(-1)^nn| + 5 = \) [ ], а для знаменателя неравенство \(\sqrt{n^2 + 2} \gt n\) , то

\(|x\_n| = \dfrac {|(-1)^nn+5|}{\sqrt{n^2 + 2}} \le \dfrac {n+5}{n} = 1 + \dfrac 5 n \le 6,\)

т. е. \(|x\_n| \le \) [ ]. Следовательно, соотношение \(-6 \le x\_n \le 6\) выполняется для всех членов последовательности, и последовательность [ограничена|не ограничена].

Похожие

Тот же тест