Найдите периметр сечения

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно \(4\) см, а сторона основания равна \(6\) см. Найдите периметр сечения, проходящего через ребро \(A\_1B\_1\) и точку \(M\) — середину ребра \(AC\) .

Решение.

1. Основания призмы расположены в[параллельных|перпендикулярных|пересекающихся] плоскостях, следовательно, секущая плоскость пересекает плоскости \(ABC\) и \(A\_1B\_1C\_1\) по[параллельным|перпендикулярным|пересекающимся] прямым. Проведем через точку \(M\) прямую \(m\) ,[параллельную|перпендикулярную] прямой \(AB\) . Обозначим точку пересечения прямых \(m\) и \(BC\) буквой \(K\) .

\(MK \parallel AB\) , \(AB\) [ ] \(A\_1B\_1\) , следовательно, \(MK\) [ ] \(A\_1B\_1\) . Проведем отрезки \(A\_1M\) и[ ]. Четырёхугольник[ ] — искомое сечение.

2. Периметр четырёхугольника \(A\_1B\_1KM\) равен \(A\_1B\_1+\) [ \(B\_1K+KM\) | \(A\_1B\_1+KM\) | \(B\_1K+A\_1B\_1\) | \(KM+A\_1B\_1\) ] \(+ MA\_1\) , где \(A\_1B\_1=\) [ ] см и \(MK=\) [ ] см ( \(MK\) — [параллельная|средняя|прямая] линия треугольника \(ABC\) ). Найдём длины отрезков \(A\_1M\) и \(B\_1K\) . По определению правильной призмы ее основание —[равнобедренный|правильный|равносторонний] треугольник, а боковые рёбра[параллельны|перпендикулярны|пересекаются] к плоскости \(ABC\) . Следовательно, \(AM=\) [ ] см и \(AA\_1\) [ ] \(ABC\) .

Из прямоугольного \(\triangle A\_1AM\) находим: \(A\_1M=\sqrt{AA\_1^2+AM^2}=\) [ ] \(=\) [ ] (см).

Аналогично из прямоугольного [ ] \(BB\_1K\) получаем: \(B\_1K=\) [ ] (см).

Итак, \(A\_1B\_1+\) [ \(A\_1B\_1+KM\) | \(B\_1K+A\_1B\_1\) | \(B\_1K+KM\) | \(KM+A\_1B\_1\) ] \(+MA\_1=6+\) [ ] \(=\) [ ] (см).

Ответ: Периметр сечения равен[ ] см.