Реши задачу

Через образующую \(AA\_{1}\) цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найди отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен \(\phi\) . (Задача \(331\) учебника.)

Решение.

На рисунке изображены образующая \(AA\_{1}\) и секущие [ ], \(CAA\_{1}C\_{1}\) и \(BAA\_{1}B\_{1}\) , причём плоскость \(BAA\_{1}B\_{1}\) проходит через ось [цилиндра|параллелограмма|сферы].

1. Образующая \(AA\_{1}\) [параллельна|перпендикулярна] к плоскости \(ABC\) основания цилиндра, следовательно, \(AA\_{1}\) [ ] \(AB\) и \(AA\_{1}\) [ ] \(AC\) .
   Поэтому \(\angle{BAC}\) —
   [квадратичный|линейный]
   угол двугранного угла, образованного секущими плоскостей
   \(ABB\_{1}A\_{1}\) и
   [ ].
   По условию задачи \(\angle{BAC}=\) [ \(\angle BCC\_1\) | \(\angle \phi\) | \(40^\circ\) ].
2. Так как плоскость \(BAA\_{1}B\_{1}\) проходит через [ось|основание] цилиндра, то отрезок \(AB\) —
   [диаметр|радиус] основания, и поэтому \(\angle ACB = 90^\circ\) . В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AC =\) [ ] \(\cdot \cos\phi\) .
3. \(\dfrac{SCAA\_{1}C\_{1}}{SBAA\_{1}B\_{1}}= (AC \ \cdot\) [ ] \() \ : \ (\) [ ] \(\cdot AA\_{1})=AC \ :\) [ ] \(= \) [ ] \(\phi\) .

Ответ:[ ] \(\phi\) .