Расстояние между двумя плоскостями, перпендикулярными диаметру шара и расположенными по одну сторону от его центра, равно 1 см, радиусы сечений равны 3\sqrt{3} см и 4\sqrt{2} см. Найди объём шарового слоя, заключённого между этими плоскостями. Решение: Пусть шар с центром O пересечён плоскостями a и b, перпендикулярными его диаметру CD, A и B — точки пересечения диаметра CD этими плоскостями (см. рис. a). Тогда AB = 1, а объём слоя, т. е. части шара, заключённой между этими плоскостями, равен разности объёмов двух шаровых сегментов, один из которых имеет высоту AC, а другой — . Так как объём шарового сегмента вычисляется по формуле V_{сегм}= \pi h^2 (R - \cfrac 1 3 h), где R — шара ,h — шара, то необходимо найти R и высоты h1 = AC и h2 = BC. Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр CD. Эта плоскость пересекает основания указанных шаровых сегментов по их диаметрам MM_1 и NN_1 (см. рис. б). В треугольниках OAM и OBN имеем: OM = ON = , AM = 4\sqrt{2} см, BN = 3\sqrt{3} см . Пусть OA = x, тогда OB = . По теореме Пифагора R^2 = x^2 + ( 3\sqrt{3})^2, отсюда x = OA = см. Далее, R = \sqrt{x^2 + 32} = см, h_1 = AC = OC – OA = 4 см, h_2 = BC = AC – AB = см. Ответ: V_{слоя} = \pi h_1^2 (R - \cfrac 1 3 h_1) - \pi h_2^2 (R

Задание

Выполнизадание

Расстояниемеждудвумяплоскостями, перпендикулярнымидиаметрушараирасположеннымипооднусторонуотегоцентра, равно \(1см\) , радиусысеченийравны \(3\sqrt{3}см\) и \(4\sqrt{2}см\) . Найдиобъёмшаровогослоя, заключённогомеждуэтимиплоскостями.

Решение:

Пустьшарсцентром \(O\) пересечёнплоскостями \(a\) и \(b\) , перпендикулярнымиегодиаметру \(CD, A\) и \(B\) — точкипересечениядиаметра \(CD\) этимиплоскостями(см.рис.a).Тогда \(AB=1\) , аобъёмслоя, т.е.частишара, заключённоймеждуэтимиплоскостями, равенразностиобъёмовдвухшаровыхсегментов, одинизкоторыхимеетвысоту \(AC\) , адругой — [ ].

Таккакобъёмшаровогосегментавычисляетсяпоформуле \(V\_{сегм}=\pih^2(R - \cfrac13h)\) , где \(R\) — [ ]шара , \(h\) — [ ]шара, тонеобходимонайти \(R\) ивысоты \(h1=AC\) и \(h2=BC\) .

Рассмотримсечениешараплоскостью, проходящейчерездиаметр \(CD\) .Этаплоскостьпересекаетоснованияуказанныхшаровыхсегментовпоихдиаметрам \(MM\_1\) и \(NN\_1\) (см.рис.б).В[ ]треугольниках \(OAM\) и \(OBN\) имеем: \(OM=ON=\) [ ], \(AM=4\sqrt{2}см\) , \(BN=3\sqrt{3}см\) .

Пусть \(OA=x\) , тогда \(OB=\) [ ] .

ПотеоремеПифагора \(R^2=x^2+(3\sqrt{3})^2\) , отсюда \(x=OA=\) [ ]см.

Далее, \(R=\sqrt{x^2+32}=\) [ ]см, \(h\_1=AC=OC–OA=4см\) , \(h\_2=BC=AC–AB=\) [ ]см.

Ответ:

\(V\_{слоя}=\pih\_1^2(R - \cfrac13h\_1) - \pih\_2^2(R - \cfrac13h\_2)=\) [ ] \(\pi\) \(см^3\) .

Похожие

Тот же тест