Найти точки экстремума функции f (x): f(x) = x^{3} + 6x^{2} - 15x + 4 f(x) = x^{5} + 5x^{4} + 5x^{3} + 3 f(x) = \dfrac{x^{3} + 2x^{2}}{(x - 1)^{2}} f(x) = |x| (x + 2)^{3} Решение: Так как f'(x) = 3x^{2} + 12x - 15 = 3 (x + 5) (x - 1), то x_{1} = и x_{2} = — стационарные точки функции f(x). При переходе через точку x_{1} производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x_{2} — с минуса на плюс. Следовательно, x_{1} = -5 — точка , а x_{2} = 1 — точка функции f(x). Уравнение 5x^{4} + 20x^{3} + 15x^{2} = 5x^{2} (x + 3) (x + 1) = 0 имеет корни x_{1} = 0, x_{2} = -3, x_{3} = -1. Точка не является точкой экстремума, так как функция f(x) возрастает на промежутках (-1; 0] и [0; 1). При переходе через точку производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку — с минуса на плюс. Поэтому x_{2} = -3 — точка максимума, а x_{3} = -1 — точка минимума функции f(x). Функция f(x) дифференцируема при всех x \in R, кроме x = 1, причем f'(x) = \dfrac{(3x^{2} + 4x)(x - 1)^{2} - (x^{3} + 2x^{2})2(x - 1)}{(x - 1)^{4}} = \dfrac{(x + 1)x(x - 4)}{(x - 1)^{3}}, x \ne 1. Отсюда следует, что -1, 0, 4 — стационарные точки функции f(x). Методом интервалов находим, что f'(x) 0 при x \lt - 1, 0 \lt x \lt 1 и x \gt 4, а f'(x) 0 при -1 \lt x \lt 0 и 1 \lt x \lt 4. Так как при переходе через точку x = -1 производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точки x = и x = — с минуса на плюс, то x = — точка максимума, а x = 0 и x= 4 — точки минимума функции f(x). Функция f(x) дифференцируема при всех x \in R, кроме x = 0, и непрерывна в точке x = 0. Если x 0, то f(x) = x (x + 2)^{3}, f'(x) = (x + 2)^{3} + 3x (x + 2)^{2} = 4 (x + 2)^{2} \big( x + \dfrac{1}{2} \big); если x 0, то f(x) = -x (x + 2)^{3}, f'(x) = -4 (x + 2)^{2} \big( x + \dfrac{1}{2} \big). Отсюда следует, что f'(x) \gt 0 при x \gt 0, при x \lt -2 и при -2 \lt x \lt - \dfrac{1}{2}, а f'(x) \lt 0 при - \dfrac{1}{2} \lt x \lt 0. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку — с минуса на плюс. Поэтому x = - \dfrac{1}{2} — точка максимума, а x = 0 — точка минимума функции f(x). Точка x = -2 является стационарной точкой функции f(x), но не является точкой экстремума, так как f(x) — возрастающая функция при x \lt - \dfrac{1}{2}.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Выбериправильныйответ

Найтиточкиэкстремумафункцииf(x):

  1. \(f(x)=x^{3}+6x^{2} - 15x+ 4\)
  2. \(f(x)=x^{5}+5x^{4}+5x^{3}+ 3\)
  3. \(f(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}}{(x - 1)^{2}}\)
  4. \(f(x)=|x|(x+2)^{3}\)

Решение:

  1. Таккак \(f'(x)=3x^{2}+12x - 15=3(x+5)(x - 1)\) , то \(x\_{1}=\) [ ]и \(x\_{2}=\) [ ] — стационарныеточкифункции \(f(x)\) .Припереходечерезточку \(x\_{1}\) производная \(f'(x)\) меняетзнаксплюсанаминус, априпереходечерезточку \(x\_{2}\) — сминусанаплюс.Следовательно, \(x\_{1}=-5\) — точка[ ], а \(x\_{2}=1\) — точка[ ]функции \(f(x)\) .
  2. Уравнение \(5x^{4}+20x^{3}+15x^{2}=5x^{2}(x+3)(x+1)=0\) имееткорни \(x\_{1}=0\) , \(x\_{2}=-3\) , \(x\_{3}=-1\) .Точка[ ]неявляетсяточкойэкстремума, таккакфункция \(f(x)\) возрастаетнапромежутках \((-1; 0]\) и \([0; 1)\) .Припереходечерезточку[ ]производная \(f'(x)\) меняетзнаксплюсанаминус, априпереходечерезточку[ ] — сминусанаплюс.Поэтому \(x\_{2}=-3\) — точкамаксимума, а \(x\_{3}=-1\) — точкаминимумафункции \(f(x)\) .
  3. Функция \(f(x)\) дифференцируемапривсех \(x\inR\) , кроме \(x=1\) , причем \(f'(x)=\dfrac{(3x^{2}+4x)(x - 1)^{2} - (x^{3}+2x^{2})2(x - 1)}{(x - 1)^{4}}=\dfrac{(x+1)x(x - 4)}{(x - 1)^{3}}\) , \(x\ne1\) .
    Отсюдаследует, что \(-1\) , \(0\) , \(4\) — стационарныеточкифункции \(f(x)\) .Методоминтерваловнаходим, что \(f'(x)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) при \(x\lt - 1\) , \(0\ltx\lt1\) и \(x\gt4\) , а \(f'(x)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) при \(-1\ltx\lt0\) и \(1\ltx\lt4\) .Таккакприпереходечерезточку \(x=-1\) производная \(f'(x)\) меняетзнаксплюсанаминус, априпереходечерезточки \(x=\) [ ]и \(x=\) [ ] — сминусанаплюс, то \(x=\) [ ] — точкамаксимума, а \(x=0\) и \(x=4\) — точкиминимумафункции \(f(x)\) .
  4. Функция \(f(x)\) дифференцируемапривсех \(x\inR\) , кроме \(x=0\) , инепрерывнавточке \(x=0\) .Если \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) , то \(f(x)=x(x+2)^{3}\) , \(f'(x)=(x+2)^{3}+3x(x+2)^{2}=4(x+2)^{2}\big(x+\dfrac{1}{2}\big)\) ; если \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) , то \(f(x)=-x(x+2)^{3}\) , \(f'(x)=-4(x+2)^{2}\big(x+\dfrac{1}{2}\big)\) .Отсюдаследует, что \(f'(x)\gt0\) при \(x\gt0\) , при \(x\lt-2\) ипри \(-2\ltx\lt - \dfrac{1}{2}\) , а \(f'(x)\lt0\) при \(- \dfrac{1}{2}\ltx\lt0\) .
    Припереходечерезточку[ ]производнаяменяетзнаксплюсанаминус, априпереходечерезточку[ ] — сминусанаплюс.Поэтому \(x= - \dfrac{1}{2}\) — точкамаксимума, а \(x=0\) — точкаминимумафункции \(f(x)\) .Точка \(x=-2\) являетсястационарнойточкойфункции \(f(x)\) , нонеявляетсяточкойэкстремума, таккак \(f(x)\) — возрастающаяфункцияпри \(x\lt - \dfrac{1}{2}\) .

Тот же тест