Напиши свой ответ

Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса \(R\) .

Решение:

Пусть \(r\) и \(h\) соответственно радиус основания и высота цилиндра, вписанного в шар радиуса \(R\) , \(V\) — объем цилиндра. Тогда \(V = \pi r^{2}h\) , \(\big( \dfrac{h}{2} \big) ^{2} + r^{2} = R^{2}\) , откуда \(V = 2 \pi r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}}\) , где \(0 \lt r \lt R\) .

Обозначим \(t = r^{2}\) , тогда \(V = 2 \pi t \sqrt{R^{2} - t}\) , где \(0 \lt t \lt R^{2}\) , откуда \(V^{2} = 4 \pi ^{2} t^{2} (R^{2} - t)\) . Так как \(V \geqslant 0\) , то функция \(V(t)\) имеет на интервале \((0; R^{2})\) те же точки экстремума, что и функция \(f(t) = \dfrac{V^{2}(t)}{4 \pi ^{2}}\) , т. е. \(f(t) = t^{2}(R^{2} - t)\)

Найдем критические точки функции \(f(t)\) , решая уравнение \(f'(t) = 0\) , т. е. \(2tR^{2} - 3t^{2} = 0\) . Это уравнение имеет на интервале \((0; R^{2})\) единственный корень \(t\_{0} = \dfrac{2R^{2}}{3}\) , причем точка \(t\_{0}\) является точкой [ ] функции, а число \(f(t\_{0})\) — наибольшим значением функции \(f(t)\) на интервале [ ]. Следовательно, при \(r = \sqrt{t\_{0}} = R \sqrt{\dfrac{2}{3}}\) функция \(V(t)\) принимает наибольшее значение, т. е. радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса \(R\) и имеющего наибольший объем, равен [ ].