Напиши свой ответ

Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.

Решение:

Пусть треугольник \(ABC\) вписан в круг радиуса \(R\) , причем \(AB = BC\) . Обозначим \(\angle BAC = \alpha\) . По теореме синусов \(AB = BC = 2R \sin \alpha\) , \(AC = 2R \sin (\pi - 2 \alpha) = 2R \sin 2 \alpha\) .

Пусть \(P(\alpha)\) — периметр треугольника \(ABC\) , тогда \(P(\alpha) = 2R (2 \sin \alpha + \sin 2 \alpha)\) , где \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) . Отсюда находим \(P'(\alpha) = 4R (\cos 2 \alpha + \cos \alpha) = 4R (2 \cos ^{2} \alpha + \cos \alpha - 1) = 4R (2 \cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1)\)

Уравнение \(P'(\alpha) = 0\) имеет на интервале \(\big( 0; \dfrac{\pi}{2} \big)\) единственный корень \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) , причем \(P'(\alpha)\) [ \(\lt\) | \(\gt\) ] \(0\) при \(\alpha \in \big( 0; \dfrac{\pi}{3} \big)\) и \(P'(\alpha)\) [ \(\lt\) | \(\gt\) ] \(0\) при \(\alpga \in \big( \dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \big)\) . Следовательно, число \(P \big( \dfrac{\pi}{3} \big)\) является наибольшим значением функции \(P(\alpha)\) на интервале \(\big( 0; \dfrac{\pi}{2} \big)\) . Но если \(\angle BAC = \alpha = \dfrac{\pi}{3}\) , то \(\angle BCA =\) [ ], и, значит, \(\angle ABC = \dfrac{\pi}{3}\) , т. е. \(\triangle ABC\) — [ ]. Итак, среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.