Напиши свой ответ
Найти наибольшее \(M\) и наименьшее \(m\) значения функции \(f(x)\) на множестве \(E\) , если:
- \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 5\) , \(E = [-3; 4]\)
- \(f(x) = (x + 2)^{2} (x - 3)^{3}\) , \(E = [-3; 1]\)
- \(f(x) = \sin x + \dfrac{1}{2} \sin 2x\) , \(E = [0; \dfrac{3 \pi}{2}]\)
- \(f(x) = | x^{2} + 2x - 3 | + \ln x\) , \(E = [\dfrac{1}{2}; 2]\)
Решение:
\(f(x) = 6x^{2} + 6x - 12 = 6 (x + 2) (x - 1)\) . Уравнение \(6 (x + 2) (x – 1) = 0\) имеет корни \(x\_{1} = -2\) и \(x\_{2} = 1\) . Найдем значения функции \(f(x)\) в точках \(-2\) , \(1\) и в концах отрезка \([-3; 4]\) . Тогда \(M\) — [ ]
из чисел \(f(-3)\) , \(f(-2)\) , \(f(1)\) и \(f(4)\) , а \(m\) — [ ]
из этих чисел. Так как \(f(-3) = 14\) , \(f(-2) = 25\) , \(f(1) = -2\) , \(f(4) = 133\) , то \(M =\) [ ], \(m = \) [ ].\(f'(x) = 2(x + 2)(x - 3)^{3} + 3 (x+2)^{2} (x - 3)^{2} = 5x (x + 2) (x - 3)^{2}\) . Уравнение \(5x (x + 2) (x - 3)^{2} = 0\) имеет корни \(x\_{1} = -2\) , \(x\_{2} = 0\) и \(x\_{3} = 3\) . Точка \(x = 3\) не является точкой экстремума функции \(f(x)\) , так как \(f'(x) \gt 0\) на интервалах \((0; 3)\) и \((3; 4)\) , а \(x = -2\) и \(x = 0\) — точки [ ] (при переходе через эти точки \(f'(x)\) меняет знак). Так как \(f(-3) = -216\) , \(f(-2) = 0\) , \(f(0) = -108\) , \(f(1) = -72\) , то \(M =\) [ ], \(m =\) [ ].
\(f'(x) = \cos x + \cos 2x = 2 \cos 2x + \cos x - 1 = (2 \cos x - 1)(\cos x + 1)\) . Уравнение \((2 \cos x - 1) (\cos x + 1) = 0\) равносильно совокупности двух уравнений \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) и \(\cos x = -1\) . На отрезке \([0; \dfrac{3 /pi}{2}]\) каждое из этих уравнений имеет единственный корень: \(x\_{1} = \dfrac{/pi}{3}\) — корень первого уравнения и \(x\_{2} = \pi\) — корень второго уравнения. Так как \(f(0) = f(\pi) = 0\) , \(f \big( \dfrac{\pi}{3} \big) = \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\) , \(f \big( \dfrac{3 \pi}{2} \big) = -1\) , то \(M =\) [ ], \(m =\) [ ].
Функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([\dfrac{1}{2}; 2]\) и дифференцируема во всех точках этого отрезка, за исключением точки \(x = 1\) . Пусть \(x \in [\dfrac{1}{2}; 2]\) , тогда \(f(x) = (x + 3) (1 - x) + \dfac{3}{2} \ln x = - x^{2} - 2x + 3 + \dfrac{3}{2} \ln x\) , \(f'(x) = -2x - 2 + \dfrac{3}{2x} = - \dfrac{4x^{2} + 4x - 3}{2x}\) . Уравнение \(f'(x) = 0\) имеет на промежутке \([\dfrac{1}{2}; 1)\) единственный корень \(x\_{1} = \dfrac{1}{2}\) .
Если \(x \in (1; 2]\) , то \(f(x) = x^{2} + 2x - 3 + \dfrac{3}{2} \ln x\) , \(f'(x) = \dfrac{4x^{2} + 4x + 3}{2x}\)
и уравнение \(f'(x) = 0\) не имеет действительных корней. Найдем значения функции \(f(x)\) в точках \(\dfrac{1}{2}\) , \(2\) , \(1\) . Так как \(f \big( \dfrac{1}{2} \big) = \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{2} \ln 2\) , \(f(2) = 5 + \dfrac{3}{2} \ln 2\) , \(f(1) = 0\) и \(f(1) \lt f \big( \dfrac{1}{2} \big)\) , то \(M =\) [ ], \(m =\) [ ].