Основанонаупр.3стр.42

Заполнипропускиврешении

Докажи, чтоесли \(x\gt0\) , товыполняетсянеравенство \(\ln(1+x)\gtx - \dfrac{x^{2}}{2}\) .

Решение.Рассмотримфункцию \(\varphi=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}\) .Таккак \(\varphi'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1+x=\dfrac{x^{2}}{1+x}\gt0\) при \(x\gt0\) , тофункция \(\varphi(x)\) являетсявозрастающейпри \(x\gt0\) .Функция \(\varphi(x)\) непрерывнанаотрезке[[ ]; \(x\) ]длялюбого \(x\gt0\) .Поэтомуонавозрастаетнаэтомотрезкеи \(\varphi(x)\gt\varphi(0)\) , где \(\varphi(0)=0\) .Следовательно, \(\varphi(x)\gt0\) при \(x\gt0\) , т.е.выполняетсянеравенство \(\ln(1+x)\gtx - \dfrac{x^{2}}{2}\) при \(x\gt0\) .