Разбери решение задачи
- Реши уравнение \(7^{2x^2}-13,25\cdot 14^{x^2}+49\cdot 2^{2x^2-2}=0.\)
- Укажи корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\sqrt{5};\log\_2{\dfrac{3}{2}}\right]\) .
Решение.
Заметим, что \(14=2\cdot 7\) и перепишем данное уравнение:
\(7^{2x^2}-13,25\cdot 2^{x^2}\cdot 7^{x^2}+49\cdot 2^{2x^2}\cdot 2^{-2}=0\) .
Умножим уравнение на \(2^2=4\) :
\(4\cdot 7^{2x^2}-53\cdot 2^{x^2}\cdot 7^{x^2}+49\cdot 2^{2x^2}=0\) .
Разделим уравнение на \(2^{2x^2}\) :
\(4\cdot \dfrac{7^{2x^2}}{2^{2x^2}}-53\cdot \dfrac{2^{x^2}\cdot 7^{x^2}}{2^{2x^2}}+49=0\) .
Перепишем уравнение ещё раз, выполнив сокращение:
\(4\cdot \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2x^2}-53\cdot \left(\dfrac{7}{2}\right)^{x^2}+49=0\) .
Сделаем замену переменной: \(t=\left(\dfrac{7}{2}\right)^{x^2},\) \(t\gt 0\) :
\(4t^2-53t+49=0\) .
Найдём корни квадратного уравнения:
\(t\_1=\dfrac{49}{4}=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2,\) \(t\_2=\) [ ].
Оба корня подходят. Сделаем обратную замену и найдём корни.
\(\left(\dfrac{7}{2}\right)^{x^2}=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2,\) корни этого уравнения \(x\_1=-\sqrt{2},\) \(x\_2=\sqrt{2}\) .
\(\left(\dfrac{7}{2}\right)^{x^2}=\left(\dfrac{7}{2}\right)^0,\) у этого уравнения один корень \(x\_3=0\) .
Мы нашли корни уравнения (их три), нам осталось выбрать те из них, которые принадлежат промежутку \(\left[-\sqrt{5};\log\_2{\dfrac{3}{2}}\right]\) . Сделаем оценку значений.
\(\sqrt{2}\lt\sqrt{5}\) , значит, \(-\sqrt{2}\gt-\sqrt{5}\) , следовательно, \(x\_1=-\sqrt{2}\) принадлежит данному промежутку.
\(\sqrt{2}\gt 1=\log\_{2}2\gt\log\_{2}{\dfrac{3}{2}}\) , значит, корень \(x\_2=\sqrt{2}\) не принадлежит промежутку \(\left[-\sqrt{5};\log\_2{\dfrac{3}{2}}\right]\) .
Так как \(-\sqrt{5}\lt 0\) , а \(\log\_2\dfrac{3}{2}\gt 0,\) то конень \(x\_3=0\) принадлежит данному промежутку.
Введи ответы в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов.
Ответ:
- [ ]
- [ ]