Разбери решение задачи
\(16\log\_{4}^2{(8\sin x)}-11\log\_{\sqrt{2}}(64\sin^2 x)+72\geqslant 0\)
Решение.
Запишем ОДЗ: \(\sin x\gt 0\) .
Перепишем неравенство:
\(16\left(\log\_{2^2}{(8\sin x)}\right)^2-11\log\_{2^{1/2}}(8\sin x)^2+72\geqslant 0\)
Используем свойства логарифма и вынесем степени:
\(16\left(\dfrac{1}{2}\log\_{2}{(8\sin x)}\right)^2-11\cdot 2\cdot \dfrac{1}{1/2}\log\_{2}(8\sin x)+72\geqslant 0\)
Подсчитаем коэффициенты перед логарифмами:
\(4\left(\log\_{2}{(8\sin x)}\right)^2-44\log\_{2}(8\sin x)+72\geqslant 0\)
Разделим неравенство на \(4\) :
\(\left(\log\_{2}{(8\sin x)}\right)^2-11\log\_{2}(8\sin x)+18\geqslant 0\)
Сделаем замену \(t=\log\_{2}(8\sin x)\) :
\(t^2-11t+18\geqslant 0\)
Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств:
\(\left[ \begin{aligned} t\leqslant 2 \\ t\geqslant 9 \end{aligned}\right.\)
Сделаем обратную замену:
\(\left[ \begin{aligned} \log\_{2}(8\sin x)\leqslant 2 \\ \log\_{2}(8\sin x)\geqslant 9 \end{aligned}\right.\)
Учитывая то, что \(y=\log\_{2}x\) функция монотонно возрастающая, получаем:
\(\left[ \begin{aligned} 8\sin x\leqslant 2^2 \\ 8\sin x\geqslant 2^9 \end{aligned}\right.\)
\(\left[ \begin{aligned} \sin x\leqslant \cfrac{1}{2} \\ \sin x\geqslant 64 \end{aligned}\right.\)
Неравенство \(\sin x\geqslant 64\) не имеет решений, так как \(\sin x\leqslant 1\) .
Нам остаётся решить неравенство \(\sin x\leqslant \cfrac{1}{2}\) и учесть ОДЗ. Это означает, что мы должны решить систему неравенств:
\(\left\{ \begin{aligned} \sin x\leqslant \dfrac{1}{2} \\ \sin x\gt 0 \end{aligned}\right.\)
Изобразим решения системы на числовой окружности. Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено жёлтым цветом.
- \(\left(2\pi k;\cfrac{\pi}{6}+2\pi k\right]\)
- \(\left[\cfrac{5\pi}{6}+2\pi k;\pi+2\pi k\right)\)
- \(\cup\)
- \(\cap\)
- \(\left[2\pi k;\cfrac{\pi}{3}+2\pi k\right]\)
- \(\left[\cfrac{2\pi}{3}+2\pi k;\pi+2\pi k\right]\)
Ответ: \(x\in\) [ ][ ][ ], \(k\in\Z.\)