Разбери решение задачи

\(31\) декабря Анатолий получит в банке кредит на покупку помещения для собственной автомастерской в размере \(8,2\) млн. рублей сроком на \(15\) лет. Условия возврата кредита следующие: в первый день каждого следующего года сумма долга увеличивается на \(10\%\) , в последний день каждого года в течение пятнадцати лет Анатолий делает платеж по кредиту. Причём размер платежа каждый раз такой, что размер долга уменьшается на одну и ту же сумму (такая схема называется дифференцированные платежи). Выясни, какую общую сумму выплатит Анатолий по кредиту за \(15\) лет?

Решение.

Обозначим \(S=8200000\) , \(i=0,1\) .

Так как размер первоначального долга каждый год уменьшается на одну и ту же сумму в течение \(15\) лет, то эта сумма равна \(\cfrac{S}{15}\) . Кроме того, чтобы долг уменьшался на \(\cfrac{S}{15}\) каждый год, Анатолий должен выплачивать каждый год не только сумму \(\cfrac{S}{15}\) , но и все начисленные за год проценты по кредиту.

Проценты по кредиту начисляются на остаток долга. Так в первый год проценты по кредиту составят \(Si\) — это \(10\%\) процентов от суммы долга.

Значит, в первый год платёж по кредиту будет равен \(Si+\cfrac{S}{15}\) .

Во второй год остаток долга составляет \(S-\cfrac{S}{15}\) и проценты будут начислены на этот остаток. Таким образом платёж по кредиту будет равен \(\left(S-\cfrac{S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}\) .

И так далее. Распишем все платежи по кредиту по годам.

1. \(Si+\cfrac{S}{15}\)

2. \(\left(S-\cfrac{S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}\)

3. \(\left(S-\cfrac{2S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}\)

\(\dots\)

15. \(\left(S-\cfrac{14S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}\)

Просуммируем все пятнадцать строчек, чтобы найти общую сумму выплат.

\(15Si-\left(\dfrac{Si}{15}+\dfrac{2Si}{15}+\dots+\dfrac{14Si}{15}\right)+15\dfrac{S}{15}\)

Заметим, что \(\left(\dfrac{Si}{15}+\dfrac{2Si}{15}+\dots+\dfrac{14Si}{15}\right)=\left(\cfrac{\cfrac{Si}{15}+\cfrac{14Si}{15}}{2}\right)\cdot 14=7Si\) как сумма арифметической прогресии.

Вернёмся к общей сумме выплат: \(15Si-7Si+S=1,8S\) .

Подставим \(S=8200000\) и запишем ответ в рублях.

Ответ:[ ] руб.