Задание

Разбери решение задачи

31 декабря Анатолий получит в банке кредит на покупку помещения для собственной автомастерской в размере 8,2 млн. рублей сроком на 15 лет. Условия возврата кредита следующие: в первый день каждого следующего года сумма долга увеличивается на 10\%, в последний день каждого года в течение пятнадцати лет Анатолий делает платеж по кредиту. Причём размер платежа каждый раз такой, что размер долга уменьшается на одну и ту же сумму (такая схема называется дифференцированные платежи). Выясни, какую общую сумму выплатит Анатолий по кредиту за 15 лет?

Решение.

Обозначим S=8200000, i=0,1.

Так как размер первоначального долга каждый год уменьшается на одну и ту же сумму в течение 15 лет, то эта сумма равна \cfrac{S}{15}. Кроме того, чтобы долг уменьшался на \cfrac{S}{15} каждый год, Анатолий должен выплачивать каждый год не только сумму \cfrac{S}{15}, но и все начисленные за год проценты по кредиту.

Проценты по кредиту начисляются на остаток долга. Так в первый год проценты по кредиту составят Si — это 10\% процентов от суммы долга.

Значит, в первый год платёж по кредиту будет равен Si+\cfrac{S}{15}.

Во второй год остаток долга составляет S-\cfrac{S}{15} и проценты будут начислены на этот остаток. Таким образом платёж по кредиту будет равен \left(S-\cfrac{S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}.

И так далее. Распишем все платежи по кредиту по годам.

1) Si+\cfrac{S}{15}

2) \left(S-\cfrac{S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}

3) \left(S-\cfrac{2S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}

\dots

15) \left(S-\cfrac{14S}{15}\right)i+\cfrac{S}{15}

Просуммируем все пятнадцать строчек, чтобы найти общую сумму выплат.

15Si-\left(\dfrac{Si}{15}+\dfrac{2Si}{15}+\dots+\dfrac{14Si}{15}\right)+15\dfrac{S}{15}

Заметим, что \left(\dfrac{Si}{15}+\dfrac{2Si}{15}+\dots+\dfrac{14Si}{15}\right)=\left(\cfrac{\cfrac{Si}{15}+\cfrac{14Si}{15}}{2}\right)\cdot 14=7Si как сумма арифметической прогресии.

Вернёмся к общей сумме выплат: 15Si-7Si+S=1,8S.

Подставим S=8200000 и запишем ответ в рублях.

Ответ: руб.