Разбери решение задачи
В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) . Все боковые ребра пирамиды равны. Секущая плоскость \(\alpha\) параллельна \(BC\) , проходит через середину \(SA\) и пересекает ребро \(CD\) в точке \(N\) .
- Докажи, что сечение пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\) является равнобедренной трапецией.
- Найди площадь сечения, если объём пирамиды \(SABCD\) равен \(2560\sqrt{6}\) , \(BC=8\sqrt{6}\) , площадь основания равна \(160\sqrt{6}\) , \(CN:ND=3:1\) .
Решение.
Обозначим \(L\) — середина \(SA\) .
Плоскость \(\alpha\) проходит через \(N\) по условию, обозначим \(NK=\alpha\cap ABC\) . Так как \(BC||\alpha\) , \(BC\subset ABC\) , то \(NK||BC\) (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей и прямая параллельны).
Так как \(AD||BC\) , \(BC||\alpha\) , то \(AD||\alpha\) .
Аналогично, \(\alpha\) проходит через \(L\) по условию, обозначим \(LM=\alpha\cap SAD\) . Так как \(AD||\alpha\) , \(AD\subset SAD\) , то \(LM||AD\) (если плоскость, в данном случае \(SAD\) , проходит через прямую, в данном случае это \(AD\) , параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей и прямая параллельны). Отсюда также следует, что \(M\) — середина \(SD\) .
Мы доказали, что \(NK||BC\) , \(LM||AD\) . Так как \(AD||BC\) , то \(LM||BC\) . Поскольку две прямые, параллельные третьей, параллельны, то \(LM||NK\) . Следовательно, четырёхугольник \(KLMN\) — трапеция. Равнобедренность следует из равенства треугольников \(DNM\) и [ ].
Первый пункт задачи доказан.
Найдём основания равнобедренной трапеции \(KLMN\) .
\(NK=BC=8\sqrt{6}\) , \(LM=\cfrac{1}{2}AD=4\sqrt{6}\) .
Вторая сторона основания пирамиды \(CD=S\_{ABCD}:BC=160\sqrt{6}:8\sqrt{6}=\) [ ].
Так как все боковые рёбра пирамиды равны по условию, основание высоты совпадает с центром описанной вокруг основания окружности, то есть с точкой пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\) . Обозначим эту точку \(H\) , тогда \(SH\) — высота.
Найдём \(SH\) :
\(SH=3V\_{SABCD}:S\_{ABCD}=3\cdot 2560\sqrt{6}:160\sqrt{6}=\) [ ].
Из прямоугольного треугольника \(SAH\) найдём боковое ребро:
\(SA^2=SH^2+AH^2=\) [ ].
Из треугольника \(SCD\) по теореме косинусов найдём \(\cos \angle SDC=\cfrac{1}{5}\) .
Так как \(CN:ND=3:1\) и \(CD=20\) , то \(ND=\cfrac{CD}{4}=5\) .
В треугольнике \(MDN\) мы знаем \(ND=5\) , \(MD=\cfrac{SD}{2}\) , \(\cos\angle MDN=\cos\angle SDC=\cfrac{1}{5}\) , мы можем с помощью теоремы косинусов найти \(MN=\) [ ].
Мы нашли все стороны ранобедренной трапеции \(KLMN\) , далее с помощью теоремы Пифагора найдём высоту этой трапеции. Она равна [ ]. Остаётся только найти площадь сечения и записать ответ.
Ответ: площадь сечения равна [ ].