Постройте угол, равный двум данным. Обоснуйте построение. Даны угол A и луч OK. Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке A. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла A обозначим B и С. Тогда AB = AC = r. Проведём окружность радиуса r с центром в точке O. Она пересекает луч OK в точке M. Проведём окружность с центром в точке M и радиусом BC. Пусть E и F — точки пересечения окружностей с центрами O и M. Проведём лучи ОЕ и OF. Покажем, что каждый из углов EOM и FOM равен углу А, а угол EOF равен двум углам A. Докажем, например, что ∠EOM = ∠BAC. Рассмотрим треугольники ABC и OEM. Имеем: AB = OE = r = AC = OM. Кроме того, по построению EM = BC. Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠EOM = ∠BAC. Аналогично можно показать, что ∠BAC = ∠FOM. А значит ∠EOF = 2 ∠A.

Задание

Постройте угол, равный двум данным. Обоснуйте построение.

Даны угол A и луч OK.
Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке A.
Точки пересечения этой окружности со сторонами угла A обозначим B и С. Тогда AB = AC = r.
Проведём окружность радиуса r с центром в точке O. Она пересекает луч OK в точке M.
Проведём окружность с центром в точке M и радиусом BC. Пусть E и F — точки пересечения окружностей с центрами O и M.
Проведём лучи ОЕ и OF.
Покажем, что каждый из углов EOM и FOM равен углу А, а угол EOF равен двум углам A. Докажем, например, что ∠EOM = ∠BAC.
Рассмотрим треугольники ABC и OEM. Имеем: AB = OE = r = AC = OM. Кроме того, по построению EM = BC. Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников.
Отсюда ∠EOM = ∠BAC. Аналогично можно показать, что ∠BAC = ∠FOM. А значит ∠EOF = 2 ∠A.