Докажите, что середина высоты треугольника, центр вписанной в него окружности и точка касания стороны, на которую опущена высота, с соответствующей вневписанной окружностью лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором АН – высота, точка D – её середина, точки О и Q – центры вписанной и вневписанной \( касающейся стороны ВС\) окружностей соответственно, К и М – точки касания этих окружностей со стороной ВС.
Проведём KF – диаметр вписанной окружности, тогда точки ... лежат на одной прямой.
Так как KF || AH, то ... MD треугольника AMH проходит через ... отрезка KF, то есть содержит точку О. Следовательно, точки D, O и M лежат на одной прямой.