Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле \(r=\frac{a+b-c}{2}\) , где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, c — гипотенуза.

В треугольнике ABC ∠ACB =  90°, BC = a, AC = b, AB = c, точка O — центр вписанной окружности, M, E и K — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Отрезок OM — радиус окружности, проведённый в точку касания. Тогда ... .
Так как точка O — ... ... ... , то CO — ... угла ... , следовательно, ... . Тогда треугольник CMO — ... прямоугольный, ... . Используя свойство отрезков касательных, проведённых к окружности через одну точку, получаем: CE = CM. Поскольку CM = r, то CE = r. Получаем AK = AE = b - r; BK = BM = a - r. Так как AK + BK = AB, то b - r + a - r = c, 2r = a + b - c, r = \(a\+b\+c\) : 2 .